Das algebraische Verhältnis zwischen Zerlegungskörper und Trägheitskörper wird durch den folgenden Satz klargelegt:
Ist
eine den Trägheitskörper bestimmende Zahl, so genügt
einer Gleichung
-ten Grades von der Gestalt
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,
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deren Koeffizienten Zahlen des Körpers
sind, und welche im Rationalitätsbereiche
eine Galoissche Gleichung mit der zyklischen Gruppe
-ten Grades ist.
Die Partialnormen des Primideals
in bezug auf die Körper
und
sind
|
und .
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Um nun die niedrigste in
liegende Potenz des Primideals
zu ermitteln, denken wir uns den größten gemeinsamen Teiler aller derjenigen ganzen
Zahlen des Körpers
bestimmt, welche durch
teilbar sind. Dieser Teiler ist notwendig im Körper
ein Primideal
und da
in
liegt, so ist
jedenfalls eine Potenz von
; wir setzen
. Zur Bestimmung des Exponenten
dient die folgende Betrachtung. Soll eine durch
nicht teilbare Zahl
des Körpers
der Kongruenz
nach
genügen und ist etwa
nach
, so muß notwendig
nach
und folglich
eine durch
teilbare Zahl sein, d. h. es gibt nur
untereinander nach
inkongruente Zahlen von der gewünschten Beschaffenheit, und es wird daher
nach
‚ wo
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Aus dieser Betrachtung folgt insbesondere, daß jede Zahl
des Körpers
einer rationalen Zahl
nach
und mithin auch nach
kongruent ist, d. h.
ist im Körper
ein Primideal ersten Grades und die Norm
im Körper
ist folglich gleich
. Andrerseits ist die Norm von
im Körper
durch die Formel
gegeben, und wegen
und
folgt somit
d. h.
. Daraus folgt der Satz:
Das Ideal
liegt im Zerlegungskörper
und ist in diesem ein Primideal ersten Grades: es wird also jede ganze Zahl des Körpers
einer rationalen Zahl kongruent nach
.
Da notwendig die bezüglich
zu
konjugierten
Ideale zu
prim sind und mit
multipliziert das Produkt
ergeben, so ist der Zerlegungskörper zugleich der Körper niedrigsten Grades, in welchem die Zerlegung der rationalen Primzahl
soweit bewirkt wird, daß dabei eine Trennung der Faktoren
von den übrigen stattfindet.
Um den Bau der Trägheitsgruppe näher zu erforschen, bezeichnen wir mit
eine durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl des Körpers
und bilden für alle Substitutionen
,
,
, …, der Trägheitsgruppe die Kongruenzen
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