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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/33

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Das algebraische Verhältnis zwischen Zerlegungskörper und Trägheitskörper wird durch den folgenden Satz klargelegt:

Ist eine den Trägheitskörper bestimmende Zahl, so genügt einer Gleichung -ten Grades von der Gestalt

,

deren Koeffizienten Zahlen des Körpers sind, und welche im Rationalitätsbereiche eine Galoissche Gleichung mit der zyklischen Gruppe -ten Grades ist.

Die Partialnormen des Primideals in bezug auf die Körper und sind

und .

Um nun die niedrigste in liegende Potenz des Primideals zu ermitteln, denken wir uns den größten gemeinsamen Teiler aller derjenigen ganzen Zahlen des Körpers bestimmt, welche durch teilbar sind. Dieser Teiler ist notwendig im Körper ein Primideal und da in liegt, so ist jedenfalls eine Potenz von ; wir setzen . Zur Bestimmung des Exponenten dient die folgende Betrachtung. Soll eine durch nicht teilbare Zahl des Körpers der Kongruenz nach genügen und ist etwa nach , so muß notwendig nach und folglich eine durch teilbare Zahl sein, d. h. es gibt nur untereinander nach inkongruente Zahlen von der gewünschten Beschaffenheit, und es wird daher nach ‚ wo eine ganze rationale Zahl bedeutet. Aus dieser Betrachtung folgt insbesondere, daß jede Zahl des Körpers einer rationalen Zahl nach und mithin auch nach kongruent ist, d. h. ist im Körper ein Primideal ersten Grades und die Norm im Körper ist folglich gleich . Andrerseits ist die Norm von im Körper durch die Formel gegeben, und wegen und folgt somit d. h. . Daraus folgt der Satz:

Das Ideal liegt im Zerlegungskörper und ist in diesem ein Primideal ersten Grades: es wird also jede ganze Zahl des Körpers einer rationalen Zahl kongruent nach .

Da notwendig die bezüglich zu konjugierten Ideale zu prim sind und mit multipliziert das Produkt ergeben, so ist der Zerlegungskörper zugleich der Körper niedrigsten Grades, in welchem die Zerlegung der rationalen Primzahl soweit bewirkt wird, daß dabei eine Trennung der Faktoren von den übrigen stattfindet.

Um den Bau der Trägheitsgruppe näher zu erforschen, bezeichnen wir mit eine durch , aber nicht durch teilbare Zahl des Körpers und bilden für alle Substitutionen , , , …, der Trägheitsgruppe die Kongruenzen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 16. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/33&oldid=- (Version vom 31.7.2018)