wir damit die oben gefundenen Bedingungen für
zusammen, so folgt, daß
sein muß. Da nun
nach
wird, so ergibt sich
nach
, und folglich genügt die Norm von
der Kongruenz
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Andererseits entnehmen wir aus der Definition des Symbols auf S. 266 unter Berücksichtigung des Hilfssatzes 24
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und da das Symbol linker Hand den Wert
haben soll, so folgt
nach
, d. h.
nach
oder
nach
. Nach Satz 148 besitzt infolge der letzteren Kongruenz der durch
bestimmte Kummersche Körper
eine zu
prime Relativdiskriminante, und es ist mithin
das einzige in der Relativdiskriminante von
} aufgehende Primideal. Setzen wir
, so ist
das einzige ambige Primideal dieses Körpers. Aus
folgt, daß
einem Ideal des Körpers
äquivalent ist. Die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar hat also für den Kummerschen Körper
den Grad
. Da die Anzahl
der ambigen Ideale für diesen Körper
ist, so folgt nach Satz 158, wenn
die dort festgesetzte Bedeutung für diesen Körper hat,
, d. h.
. Es ist folglich jede Einheit
in
die Relativnorm einer Einheit in
, und mithin wird nach Satz 151 stets
und also, da
ist, auch
, entgegen unserer Annahme, wonach das Primideal
von der ersten Art sein sollte.
Um die zweite Aussage des Hilfssatzes 37 zu beweisen, betrachten wir ähnlich wie im Beweise des Hilfssatzes 36 den Kummerschen Körper
, wo
eine beliebige Einheit in
, nur nicht die
-te Potenz einer Einheit in
, sein soll. Wie am Schlusse des § 147 bewiesen wurde, ist jede Einheit in
die Relativnorm einer Einheit in
und daher haben die beiden in Satz 158 und in Satz 159 bezeichneten Einheitenscharen für diesen Körper den gemeinsamen Grad
.
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Da ferner für ihn
ist, so folgt aus Hilfssatz 34
; mithin ist
, d. h. alle Idealklassen des Körpers
gehören zum Hauptgeschlecht. Da
ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist
, und mithin zerfällt nach Satz 149
in
voneinander verschiedene Primideale des Körpers
;