dargelegten Beweise
an Stelle der Einheit
, so folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266)
und in gleicher Weise
.
Hilfssatz 37. Wenn
ein Primideal erster Art und
eine Primärzahl von
ist, so gibt es in
stets wenigstens eine Einheit
, für welche
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ausfällt; ist dagegen ein Primideal
zweiter Art vorgelegt und bedeutet
eine Primärzahl von
, so gilt für jede Einheit
in
die Gleichung
.
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Beweis. Um die erste Aussage dieses Hilfssatzes zu beweisen, nehmen wir an, es gelte im Gegenteil für jede Einheit
in
die Gleichung
.
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Wir setzen
nach
, wobei
und
ganze rationale Zahlen sein sollen und
den größten Exponent
bedeutet, für den jener Ansatz möglich ist. Da
eine primäre Zahl ist, so muß notwendig
und
einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent sein; hierbei bedeutet
die Substitution
aus der Gruppe des Kreiskörpers
. Da
nach
ist, so wird
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und hieraus folgt, daß im Falle
der Exponent
notwendig ungerade sein muß.
Wir haben nun beim Beweise des Hilfssatzes 29 gefunden, daß die
dort mit
bezeichneten Einheiten des Kreiskörpers
die Bedingungen
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erfüllen. Setzen wir in der ersten Gleichung dieses Beweises der Reihe nach für
die Werte
ein, so entspringen zufolge der Definition (82) des Symbols
auf S. 266 und ihrer auf S. 266 gegebenen Ausdehnung die Kongruenzen
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und diese lassen erkennen, daß in der Kongruenz
nach
der Exponent
keinen der Werte
,
,
,
,
haben darf. Stellen