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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/331

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dargelegten Beweise an Stelle der Einheit , so folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266) und in gleicher Weise .

Hilfssatz 37. Wenn ein Primideal erster Art und eine Primärzahl von ist, so gibt es in stets wenigstens eine Einheit , für welche

ausfällt; ist dagegen ein Primideal zweiter Art vorgelegt und bedeutet eine Primärzahl von , so gilt für jede Einheit in die Gleichung

.

Beweis. Um die erste Aussage dieses Hilfssatzes zu beweisen, nehmen wir an, es gelte im Gegenteil für jede Einheit in die Gleichung

.

Wir setzen nach , wobei und ganze rationale Zahlen sein sollen und den größten Exponent bedeutet, für den jener Ansatz möglich ist. Da eine primäre Zahl ist, so muß notwendig und einer ganzen rationalen Zahl nach kongruent sein; hierbei bedeutet die Substitution aus der Gruppe des Kreiskörpers . Da nach ist, so wird

und hieraus folgt, daß im Falle der Exponent notwendig ungerade sein muß.

Wir haben nun beim Beweise des Hilfssatzes 29 gefunden, daß die dort mit bezeichneten Einheiten des Kreiskörpers die Bedingungen

erfüllen. Setzen wir in der ersten Gleichung dieses Beweises der Reihe nach für die Werte ein, so entspringen zufolge der Definition (82) des Symbols auf S. 266 und ihrer auf S. 266 gegebenen Ausdehnung die Kongruenzen

und diese lassen erkennen, daß in der Kongruenz nach der Exponent keinen der Werte , , , , haben darf. Stellen