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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

Körpers in Geschlechter entspricht. Wir bezeichnen die verschiedenen in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$, deren Anzahl $t$ sei, mit ${\mathfrak {l}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {l}}_{t}$. Zu einer beliebigen ganzen Zahl $\nu (\neq 0)$ in $k(\zeta )$ gehören dann bestimmte Werte der $t$ einzelnen Symbole

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\};$

(139)

diese Symbole bedeuten $l$-te Einheitswurzeln gemäß ihrer Definition in § 131. Diese $t$ Einheitswurzeln (139) sollen das Charakterensystem der Zahl $\nu$ im Kummerschen Körper $K$ heißen. Um auch einem jeden Ideal ${\mathfrak {J}}$ des Kummerschen Körpers $K$ in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm $N_{k}({\mathfrak {J}})={\mathfrak {j}}$. Ferner bezeichnen wir mit $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta )$ und bestimmen eine ganze rationale positive Zahl $h^{*}$ derart, daß $hh^{*}\equiv 1$ nach $l$ wird. Dann ist ${\mathfrak {j}}^{hh^{*}}$ sicher ein Hauptideal in $k(\zeta )$; wir setzen ${\mathfrak {j}}^{hh^{*}}=(\nu )$, wo $\nu$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ sein soll. Nunmehr verstehen wir unter $\xi _{1}$ eine Einheit in $k(\zeta )$. Haben dann für jede beliebige Einheit $\xi _{1}$ alle $t$ Symbole

$\left\{{\frac {\xi _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\xi _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}$

durchweg den Wert $1$, so setzen wir $r=t$ und bezeichnen die $r$ Einheitswurzeln

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$

als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$; dasselbe ist dann durch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ völlig eindeutig bestimmt.

Es sei andererseits eine spezielle Einheit $\varepsilon _{1}$ in $k(\zeta )$ vorhanden, für welche wenigstens eines der $t$ Symbole

$\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}$

von $1$ verschieden ausfällt; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa $\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=\zeta$. Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten $\xi _{2}$ in $k(\zeta )$, für welche $\left\{{\frac {\xi _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$ wird. Es sei unter diesen weiter eine solche Einheit $\xi _{2}=\varepsilon _{2}$ vorhanden, für welche wenigstens eines der $t-1$ Symbole

$\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}$

von $1$ verschieden ausfällt; dann können wir annehmen, es sei etwa $\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=\zeta$. Wir betrachten nunmehr alle diejenigen Einheiten $\xi _{3}$, für welche sowohl $\left\{{\frac {\xi _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$ als auch $\left\{{\frac {\xi _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1$ wird, und sehen nach, ob unter diesen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 306. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/323&oldid=- (Version vom 4.6.2018)