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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/322

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zwei einander gleich oder relativ konjugiert sind, und wo ganzzahlige Funktionen vom -ten Grade in sind. Wegen folgt

,

und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen sämtlich durch teilbar sein müssen. Setzen wir

und

so daß ein Ideal in und eine ganze oder gebrochene Zahl in ist, so wird . Das Ideal bestimmt daher eine ambige Klasse . Diese Klasse ist nicht in der Gestalt darstellbar, wo eine Potenz der Klasse , eine Klasse mit einem ambigen Ideal und eine Klasse mit Idealen in bedeutet. In der Tat, eine solche Darstellung der Klasse hätte für das Ideal eine Darstellung zur Folge, wo eine Zahl in , ferner ein ambiges Ideal und ein Ideal in bedeuten soll; dann aber wäre , d. h , wo eine Einheit in ist. Durch Bildung der Relativnorm ergäbe sich nunmehr , und das Vorhandensein einer solchen Relation haben wir oben ausgeschlossen.

Bei der gegenwärtigen Annahme muß jede Einheit in , welche die Relativnorm einer Zahl in ist, in der Gestalt darstellbar sein, so daß , ganze rationale Exponenten sind und die Relativnorm einer Einheit in bedeutet. Indem wir diesen Umstand berücksichtigen, können wir durch ähnliche Überlegungen, wie im vorigen Falle , zeigen, daß überhaupt jede vorhandene ambige Klasse in der Gestalt sich darstellen läßt, wo , die eben bestimmten ambigen Klassen sind und eine Klasse mit ambigem Ideal, eine Klasse mit Idealen in ist. Daraus geht dann hervor, daß der Grad der aus allen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar genau beträgt, wie es der Satz 159 für den Fall aussagt.

Durch Fortsetzung der eingeleiteten Schlußweise erhalten wir den vollständigen Beweis des Satzes 159.

§ 149. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im regulären Kummerschen Körper.

Es handelt sich nun darum, diejenige Einteilung der Idealklassen eines aus dem regulären Kreiskörper entspringenden Kummerschen Körpers zu erörtern, welche der Einteilung der Klassen eines quadratischen