zwei einander gleich oder relativ konjugiert sind, und wo
ganzzahlige Funktionen vom
-ten Grade in
sind. Wegen
folgt
,
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und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen
sämtlich durch
teilbar sein müssen. Setzen wir
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und
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so daß
ein Ideal in
und
eine ganze oder gebrochene Zahl in
ist, so wird
. Das Ideal
bestimmt daher eine ambige Klasse
. Diese Klasse ist nicht in der Gestalt
darstellbar, wo
eine Potenz der Klasse
,
eine Klasse mit einem ambigen Ideal und
eine Klasse mit Idealen in
bedeutet. In der Tat, eine solche Darstellung der Klasse
hätte für das Ideal
eine Darstellung
zur Folge, wo
eine Zahl in
, ferner
ein ambiges Ideal und
ein Ideal in
bedeuten soll; dann aber wäre
, d. h
, wo
eine Einheit in
ist. Durch Bildung der Relativnorm ergäbe sich nunmehr
, und das Vorhandensein einer solchen Relation haben wir oben ausgeschlossen.
Bei der gegenwärtigen Annahme
muß jede Einheit
in
, welche die Relativnorm einer Zahl in
ist, in der Gestalt
darstellbar sein, so daß
,
ganze rationale Exponenten sind und
die Relativnorm einer Einheit in
bedeutet. Indem wir diesen Umstand berücksichtigen, können wir durch ähnliche Überlegungen, wie im vorigen Falle
, zeigen, daß überhaupt jede vorhandene ambige Klasse
in der Gestalt
sich darstellen läßt, wo
,
die eben bestimmten ambigen Klassen sind und
eine Klasse mit ambigem Ideal,
eine Klasse mit Idealen in
ist. Daraus geht dann hervor, daß der Grad der aus allen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar genau
beträgt, wie es der Satz 159 für den Fall
aussagt.
Durch Fortsetzung der eingeleiteten Schlußweise erhalten wir den vollständigen Beweis des Satzes 159.
§ 149. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im regulären Kummerschen Körper.
Es handelt sich nun darum, diejenige Einteilung der Idealklassen eines aus dem regulären Kreiskörper
entspringenden Kummerschen Körpers
zu erörtern, welche der Einteilung der Klassen eines quadratischen