sämtlich durch
teilbar sein müssen. Setzen wir
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und
,
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wo
ein Ideal in
und
eine ganze oder gebrochene Zahl in
ist, so wird
. Hieraus folgt zunächst, daß
eine ambige Klasse bestimmt. Diese ambige Klasse, sie heiße
, enthält kein Ideal, welches das Produkt eines ambigen Ideals mit einem Ideal des Körpers
wäre. In der Tat, wäre dies der Fall, so könnten wir
setzen so, daß
eine ganze oder gebrochene Zahl in
, ferner
ein ambiges Ideal in
und
ein Ideal in
bedeutet; dann aber wäre
, d. h.
, wo
eine Einheit in
ist. Hieraus würde
folgen, was der vorausgesetzten Beschaffenheit der Einheit
widerspricht.
Wir wollen nun für die gegenwärtige Annahme
den Nachweis führen, daß jede überhaupt vorhandene ambige Klasse
in der Gestalt
dargestellt werden kann, wo
eine Potenz der soeben bestimmten Klasse
bedeutet, wo ferner
eine Klasse mit ambigem Ideal und
eine solche Klasse bedeutet, die unter ihren Idealen Ideale des Körpers
enthält. Zu dem Zwecke nehmen wir aus
ein beliebiges Ideal
; dann können wir
setzen in solcher Weise, daß
eine geeignete ganze oder gebrochene Zahl in
wird. Es ist sodann
eine Einheit in
; wir setzen unserer Voraussetzung entsprechend
, wo
,
,
die oben erklärte Bedeutung haben sollen. Es sei
die oben betrachtete Zahl für welche
ist; es sei ferner
, wo
eine Einheit in
bedeute. Aus diesen Gleichungen ergibt sich
, und daher wird nach Satz 90
, wo
eine geeignete ganze Zahl in
ist; hieraus entnehmen wir
. Die letztere Gleichung zeigt, daß
nach Multiplikation mit einer geeigneten ganzen Zahl des Körpers
das Produkt eines ambigen Ideals
in ein Ideal
des Körpers
wird; wir haben somit
. Es geht daraus in dem vorliegenden Falle
hervor, daß der Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar
beträgt, und dies ist die Aussage des Satzes 159 für diesen Fall.
Nehmen wir drittens
an, so existiert in
außer der Einheit
noch eine Einheit
, welche die Relativnorm einer gebrochenen Zahl
in
ist, und für die dennoch keine Darstellung von der Gestalt
möglich ist, wo
eine Potenz der oben eingeführten Einheit
und
die Relativnorm einer Einheit in
bedeuten soll. Wir setzen
,
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wo
solche Primideale in
bedeuten sollen, von denen keine