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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/320

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vom Grade bilden: dann besitzt die aus sämtlichen ambigen Klassen bestehende Klassenschar den Grad .

Beweis. Es habe die Bedeutung wie in Satz 158. Fällt erstens aus, so stimmt die jetzt in Frage kommende Einheitenschar mit der in Satz 158 behandelten Einheitenschar überein, d. h. wenn eine Einheit in gleich der Relativnorm einer gebrochenen Zahl in ist, so ist sie stets auch gleich der Relativnorm einer Einheit in . Wir beweisen nun, daß in diesem Falle die Klassenschar, die aus den ambigen Idealen entspringt, die Schar sämtlicher ambigen Klassen darstellt. In der Tat, wenn eine beliebige ambige Klasse in und ein Ideal aus ist, so können wir setzen in solcher Weise, daß eine geeignete ganze oder gebrochene Zahl in bedeutet, und die Relativnorm wird dann offenbar gleich einer Einheit des Körpers . Da dann unter der gegenwärtigen Annahme nach dem soeben bemerkten auch eine Einheit in gefunden werden kann derart, daß wird, so haben wir und folglich nach Satz 90 oder , wo eine geeignete ganze Zahl in ist. Wegen wird , d. h. es ist gleich dem Produkte aus einem ambigen Ideal und einem Ideal in , und es entsteht also die Klasse durch Multiplikation einer Klasse, die ein ambiges Ideal enthält, mit einer Klasse, die Ideale in enthält. Damit ist unsere Behauptung bewiesen und der Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen gebildeten Klassenschar ist nunmehr mit Rücksicht auf Satz 158 gleich

,

wie es im vorliegenden Falle dem Satz 159 entspricht.

Es sei zweitens ; dann kommt in eine Einheit vor, die zwar nicht die Relativnorm einer Einheit in , aber doch die Relativnorm einer gebrochenen Zahl in ist, und es muß sich jede andere Einheit von der nämlichen Natur durch die Einheit solcher Gestalt ausdrücken lassen, daß ein ganzer rationaler Exponent und die Relativnorm einer Einheit in ist. Wir setzen

,

wo voneinander verschiedene Primideale in bedeuten sollen, von denen keine zwei zueinander relativ konjugiert sind, und wo ganzzahlige Funktionen vom -ten Grade in sind. Wegen folgt

,

und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen