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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/31

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Zum Beweise dieses Hilfssatzes bilden wir die ganze ganzzahlige Funktion

und erhalten dann wegen

die Kongruenz

welche die Richtigkeit des Hilfssatzes erkennen läßt.

Nun seien diejenigen sämtlichen Substitutionen der Gruppe , welche das Primideal ungeändert lassen; dieselben bilden eine Gruppe vom -ten Grade, welche die Zerlegungsgruppe des Primideals genannt und mit bezeichnet werden soll.

Nehmen wir ‚ wo eine nicht durch , wohl aber durch alle zu konjugierten und von verschiedenen Primideale teilbare ganze Zahl ist, so zeigt die Anwendung des Hilfssatzes die Existenz einer Substitution von der Art, daß die Kongruenz

oder

gilt. Hieraus folgt nach und nach . Die erste Inkongruenz lehrt, daß nicht durch teilbar ist; folglich wird oder d. h. die Substitution gehört der Zerlegungsgruppe an. Wir setzen und haben dann die Kongruenz

.

Die wiederholte Anwendung der Substitution liefert die Kongruenzen

Infolge der letzten Kongruenz ist eine Substitution von der Beschaffenheit, daß für jede beliebige ganze Zahl des Körpers die Kongruenz

erfüllt ist. Es seien diejenigen sämtlichen Substitutionen der Gruppe , denen ebenfalls die genannte Eigenschaft zukommt; dann wird leicht gezeigt, daß diese Substitutionen eine Gruppe -ten Grades bilden. Diese Gruppe werde die Trägheitsgruppe des Primideals genannt und mit bezeichnet. Da, wie ebenfalls leicht ersichtlich ist, das Primideal bei der Anwendung einer jeden der Substitutionen ungeändert bleibt, so ist die Trägheitsgruppe eine Untergruppe der Zerlegungsgruppe ; es ergibt sich ferner leicht der Satz:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 14. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/31&oldid=- (Version vom 18.8.2016)