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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

4. Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers^[1].

[Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1894. S. 224—236.]

Da ein jeder beliebige Zahlkörper als ein Körper aufgefaßt werden kann, welcher in einem Galoisschen Körper als niederer Körper enthalten ist, so bedeutet es keine wesentliche Einschränkung, wenn wir bei der Erforschung der Theorie der algebraischen Zahlen von vornherein die Annahme machen, daß der zugrunde liegende Zahlkörper ein Galoisscher Körper ist. Insbesondere erweist sich der systematische Ausbau der allgemeinen Theorie der Ideale eines Galoisschen Körpers als notwendig, wenn wir den in Kummers Abhandlungen über die höheren Reziprozitätsgesetze enthaltenen Anregungen mit Erfolg nachgehen und über die in denselben gewonnenen Resultate zur vollen Herrschaft gelangen wollen. Die vorliegende Note enthält in Kürze die Grundzüge einer solchen Theorie des Galoisschen Körpers.

Der Galoissche Körper $K$ vom $M$-ten Grade werde durch die Zahl ${\mathit {\Theta }}$ bestimmt, welche einer irreduziblen ganzzahligen Gleichung $M$-ten Grades genügt. Die Wurzeln derselben seien ${\mathit {\Theta }}=s_{1}{\mathit {\Theta }},\ s_{2}{\mathit {\Theta }},\ \ldots ,s_{M}{\mathit {\Theta }}$, wo die Substitutionen $s_{1},\ s_{2},\ \ldots ,\ s_{M}$ eine Gruppe $G$ vom $M$-ten Grade bilden. ${\mathfrak {P}}$ sei ein Primideal $f$-ten Grades in $K$; $p$ die durch ${\mathfrak {P}}$ teilbare rationale Primzahl und $P$ sei eine Primitivzahl für das Primideal $B$, d. h. $P$ sei von der Beschaffenheit, daß jede ganze Zahl des Körpers $K$ einer Potenz von $P$ nach dem Primideal ${\mathfrak {P}}$ kongruent wird.

Die Primitivzahl $P$ genügt nach dem Primideal $B$ einer Kongruenz von der Gestalt

${\mathit {\Phi }}(x)\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {P}}),$

wo $\Phi (x)$ eine ganze Funktion $f$-ten Grades in $x$ mit ganzen rationalen Koeffizienten bedeutet, welche im Sinne der Kongruenz nach der rationalen Primzahl $p$ irreduzibel ist. Es gilt ferner der Hilfssatz:

Wenn ${\mathit {\Omega }}$ irgendeine ganze Zahl in $K$ ist, so gibt es unter den Substitutionen $s_{1},\ s_{2},\ \ldots ,\ s_{M}$ stets wenigstens eine Substitution $s$ von der Art, daß nach dem Primideal ${\mathfrak {P}}$ die Kongruenz

$s{\mathit {\Omega }}\equiv {\mathit {\Omega }}^{p},\qquad ({\mathfrak {P}})$

besteht.

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1. Man sehe hierzu auch die Ausführungen im „Bericht über die Theorie der algebraischen Zahlkörper“, dieser Band, Abb. 7, S. 129–146.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 13. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/30&oldid=- (Version vom 31.7.2018)