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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

§ 141. Eine charakteristische Eigenschaft für die Einheiten eines regulären Kreiskörpers.

Satz 156. Wenn $l$ eine reguläre Primzahl bedeutet und im Körper $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln eine solche Einheit ${\mathsf {E}}$ vorliegt, welche einer ganzen rationalen Zahl nach $l$ kongruent ist, so ist sie notwendig die $l$-te Potenz einer Einheit dieses Kreiskörpers [Kummer (8^[1])].

Beweis. Wir denken uns ein System von Einheiten ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ gemäß Satz 155 bestimmt; da dieselben ein System unabhängiger Einheiten bilden, so gibt es ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Exponenten $e$, $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$, so daß

${\mathsf {E}}^{e}={\bar {\varepsilon }}_{1}^{e_{1}}\cdots {\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}^{e_{l^{*}}}$

(121)

wird, und wir können, wie sich sofort zeigt, noch annehmen, daß $e$, $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$ nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind. Wäre dann $e$ durch $l$ teilbar, so hätte die Gleichung (121) die Gestalt (119), und daß eine Gleichung von dieser Gestalt nicht statthaben kann, haben wir bereits erkannt. Wäre andererseits $e$ nicht durch $l$ teilbar, so würde jedenfalls ${\mathsf {E}}^{e}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und also $\equiv 1$ nach $l$ sein; wir bilden dann für beide Seiten der Gleichung (121) die logarithmischen Differentialquotienten der zu ihnen gehörenden Funktionen. Da wegen ${\mathsf {E}}^{e}\equiv 1$ nach $l$ die Zahlen $1^{(g)}({\mathsf {E}}^{e})$ für $g<l-1$ sämtlich kongruent $0$ nach $l$ sind, so folgt, wenn wir dies insbesondere für $g=2,4,\ldots ,2l^{*}$ in Anwendung bringen und die Werte der Zahlen $1^{(g)}({\bar {\varepsilon }}_{1})$, …, $1^{(g)}({\bar {\varepsilon }}_{l^{*}})$ in Rücksicht auf (110) einsetzen, der Reihe nach $e_{1}\equiv 0$, …, $e_{l^{*}}\equiv 0$ nach $l$; es wird dann also ${\mathsf {E}}^{e}={\mathsf {H}}^{l}$, wo ${\mathsf {H}}$ eine gewisse Einheit des Kreiskörpers bedeutet, während $e$ nach Voraussetzung eine nicht durch $l$ teilbare ganze rationale Zahl ist. Bestimmen wir nun zwei ganze rationale Zahlen $a$ und $b$, so daß $ae+bl=1$ wird, so folgt

${\mathsf {E}}=({\mathsf {H}}^{a}{\mathsf {E}}^{b})^{l}$,

und hiermit ist der Beweis des Satzes 156 vollständig erbracht.

Ein wesentlich hiervon verschiedener Beweis des Satzes 156 beruht auf folgender Überlegung. Wäre ${\mathsf {E}}$ nicht die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$, so könnte auch die Einheit ${\mathsf {H}}={\mathsf {E}}^{1-s}$ nicht die $l$-te Potenz einer Einheit sein, wie leicht aus dem Umstande ersichtlich ist, daß $1-s$ und $1+s+\cdots +s^{l-2}$ zwei ganzzahlige Funktionen von $s$ sind, die im Sinne der Kongruenz nach $l$ keinen gemeinsamen Faktor haben. Nun wird aber, wenn wir ${\mathsf {E}}$ kongruent einer ganzen rationalen Zahl nach $l$ annehmen, ${\mathsf {H}}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$, und hieraus würde nach dem zweiten Teile von Satz 148 folgen, daß der Kummersche Körper $k({\sqrt[{l}]{\mathsf {H}}},\zeta )$ die Relativdiskriminante $1$ in bezug auf $k(\zeta )$ besitzt. Da ferner dieser Kummersche Körper relativ-Abelsch vom Relativgrade $l$ in bezug auf $k(\zeta )$ ist, so würde endlich aus Satz 94 folgen, daß die Anzahl der Idealklassen des Kreiskörpers $k(\zeta )$ durch $l$ teilbar sein müßte, was der Annahme, daß $k(\zeta )$ ein regulärer Kreiskörper ist, widerspräche.

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1. Zwei besondere Untersuchungen über die Klassenanzahl und über die Einheiten der aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen. J. Math. 40 (1850).^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Zwei besondere Untersuchungen über die Classen-Anzahl und über die Einheiten der aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 117–129 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 287. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/304&oldid=- (Version vom 22.12.2016)