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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/303

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§ 140. Ein besonderes System von unabhängigen Einheiten im regulären Kreiskörper.

Wir haben in § 139 die Mittel zur Aufstellung eines Systems von Einheiten des regulären Kreiskörpers gewonnen, welches für die weiteren Entwicklungen von Nutzen sein wird.

Satz 155. Ist eine reguläre Primzahl, so gibt es im Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln stets ein System von unabhängigen Einheiten , …, von der Art, daß für dieselben die Kongruenzen

erfüllt sind; dabei ist , gesetzt.

Beweis. Da der Kreiskörper regulär sein soll, so sind in Anbetracht von Satz 154 die Zähler der ersten Bernoullischen Zahlen sämtlich zu prim, und folglich gibt es nach Hilfssatz 29 Einheiten , …, , welche die in (107) ausgedrückten Kongruenzeigenschaften besitzen. Da dort die Koeffizienten , …, sämtlich zu prim sind, so können wir ganze rationale Zahlen , …, , bestimmen derart, daß

, 

wird. Setzen wir dann

,

so erfüllen diese Einheiten , …, jedenfalls die in Satz 155 geforderten Kongruenzbedingungen.

Ferner bilden , …, ein System voneinander unabhängiger Einheiten, weil die in § 138 bestimmten Einheiten , …, ein solches waren. Um letzteres einzusehen, nehmen wir im Gegenteil an, daß eine Gleichung von der Gestalt

(120)

bestehe, wo die Exponenten , …, ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen sind; dann können wir weiter die Annahme machen, daß diese Exponenten , …, , nicht sämtlich durch teilbar seien, da im entgegengesetzten Falle offenbar sofort

folgen würde. Unter der Annahme, daß in (120) die Exponenten , …, nicht sämtlich durch teilbar sind, ist aber (120) von der Gestalt der Gleichung (119), und daß eine solche Gleichung unmöglich ist, haben wir bereits in § 139 erkannt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 286. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/303&oldid=- (Version vom 10.12.2016)