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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

§ 142. Der Begriff der primären Zahl im regulären Kreiskörper.

Eine ganze Zahl $\alpha$ des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ heißt primär, wenn sie erstens semiprimär ist (s. S. 230), und wenn sie zweitens die Eigenschaft besitzt, daß ihr Produkt mit der konjugiert imaginären Zahl, also mit $s^{\frac {l-1}{2}}\alpha$, einer ganzen rationalen Zahl nach $l={\mathfrak {l}}^{l-1}$ kongruent wird. Eine primäre Zahl ist also stets zu ${\mathfrak {l}}$ prim und hat die Kongruenzen

$\alpha \equiv a$, $({\mathfrak {l}}^{2})$, $\alpha \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\alpha \equiv b$, $({\mathfrak {l}}^{l-1})$

so zu erfüllen, daß $a$ und $b$ ganze rationale Zahlen sind [Kummer (12^[1])]. Es gilt die Tatsache:

Satz 157. In einem regulären Kreiskörper $k(\zeta )$ kann eine beliebige zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl $\alpha$ stets durch Multiplikation mit einer Einheit in eine primäre Zahl verwandelt werden [Kummer (12^[1])].

Beweis. Bilden wir aus $\alpha$ die Zahl $\beta =\alpha \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\alpha$, so ist dieselbe offenbar eine Zahl in dem Unterkörper vom Grade ${\frac {l-1}{2}}$ des Körpers $k(\zeta )$ und genügt daher einer Kongruenz $\beta \equiv a$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$, wo $a$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl bedeutet. Es seien ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, ${\bar {\varepsilon }}_{2}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ die $l^{*}$ in § 140 bestimmten Einheiten. Ist nun etwa $\beta \equiv a+a_{1}\lambda ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$, wo $a_{1}$ eine ganze rationale Zahl bedeute, so bestimme man eine ganze rationale Zahl $u_{1}$ so, daß $2au_{1}+a_{1}\equiv 0$ nach $l$ wird; dann ist notwendig

$\beta {\bar {\varepsilon }}_{1}^{2u_{1}}\equiv a$, $({\mathfrak {l}}^{4})$.

Ist ferner etwa $\beta {\bar {\varepsilon }}_{1}^{2u_{1}}\equiv a+a_{2}\lambda ^{4}$ nach ${\mathfrak {l}}^{6}$, wo $a_{2}$ wieder eine ganze rationale Zahl bedeute, so bestimme man eine ganze rationale Zahl $u_{2}$ derart, daß $2au_{2}+a_{2}\equiv 0$ nach $l$ wird; dann ist

$\beta {\bar {\varepsilon }}_{1}^{2u_{1}}{\bar {\varepsilon }}_{2}^{2u_{2}}\equiv a$, $({\mathfrak {l}}^{6})$

Fahren wir in der begonnenen Weise fort und setzen am Ende

${\bar {\varepsilon }}={\bar {\varepsilon }}_{1}^{u_{1}}{\bar {\varepsilon }}_{2}^{u_{2}}\cdots {\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}^{u_{l^{*}}}$,

so wird $\beta {\bar {\varepsilon }}^{2}\equiv a$ nach ${\mathfrak {l}}^{l-1}$. Ist andererseits $\zeta ^{*}$ eine solche Potenz von $\zeta$, daß $\zeta ^{*}\alpha$ semiprimär wird, so ist offenbar $\zeta ^{*}{\bar {\varepsilon }}\alpha$ eine primäre Zahl.

Eine reelle primäre Zahl ist stets einer ganzen rationalen Zahl nach $l={\mathfrak {l}}^{l-1}$ kongruent. Aus Satz 156 folgt leicht, daß eine primäre Einheit in $k(\zeta )$ stets die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist.

Wir erörtern noch kurz einen Hilfssatz über primäre Zahlen, welcher uns später von Nutzen sein wird.

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1. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 44 (1851), S. 93–146 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 288. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/305&oldid=- (Version vom 21.1.2022)