und die Lagrangesche Wurzelzahl hat für ihn den Wert
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dabei durchlaufen
und
bez. die quadratischen Reste und Nichtreste nach
unter den Zahlen
,
, …,
.
Das am Schlusse des § 112 charakterisierte Problem der vollständigen Ermittlung von
, nachdem
gefunden ist, kommt in dem vorliegenden Falle des quadratischen Körpers auf die Frage nach einem gewissen Vorzeichen
hinaus und wird durch folgenden Satz erledigt:
Satz 146. Die Lagrangesche Wurzelzahl
des quadratischen Körpers mit der Primzahldiskriminante
ist eine positiv reelle oder positiv rein imaginäre Zahl [Gauss (2[1]), Kronecker (4[2])].
Beweis. Das Quadrat der in Frage stehenden Lagrangeschen Wurzelzahl
besitzt, weil
eine Zahl des quadratischen Körpers und nach Satz 138
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ist, jedenfalls den Wert
; man hat also
.
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(65)
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An die Stelle der in § 112 mit
,
bezeichneten Ideale treten im vorliegenden Falle
bez. die Ideale (
) und
; aus der Kongruenz (43) wird daher die Kongruenz
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, ,
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d. i.
, ,
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(66)
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Wir betrachten andererseits den Ausdruck
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.
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Da derselbe nur sein Vorzeichen ändert, wenn wir
durch
ersetzen, wobei
eine Primitivzahl nach
bedeuten soll, und da das Ideal (
) mit dem Ideal
übereinstimmt, so ist notwendig
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.
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- ↑ [358] Summatio quarundam serierum singularium. Werke 2, 11.
- ↑ [358] Sur une formule de Gauss. J. de Math. 1856.
Anmerkungen (Wikisource)