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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/252

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Bedeutet endlich eine gerade Zahl, so setzen wir

, ,

Sind , irgend zwei ganze rationale Zahlen, so gelten dann, wie man sieht, die Gleichungen

,

Durch diese Festsetzungen ist das Symbol vollständig für den Fall definiert, daß eine beliebige ganze rationale Zahl und eine höhere Potenz von als die erste oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl bedeutet, wobei im letzteren Falle irgendeine Primitivzahl nach von vornherein zugrunde zu legen ist.

Sind , , … irgendwelche fest gegebene Potenzen verschiedener ungerader Primzahlen und eine Potenz von , die größer als ist, so setzen wir zur Abkürzung

,

ferner

,

ferner

;

darin soll eine beliebige ganze rationale Zahl, und die Exponenten , ; , , … sollen ganze rationale, nicht negative Zahlen vorstellen. Endlich setzen wir fest, daß das Zeichen stets den Wert bedeuten soll, auch wenn ist.

§ 117. Die Ausdrücke für die Klassenanzahl im Kreiskörper der –ten Einheitswurzeln.

Es gilt der folgende Satz, dessen Beweis in § 118 gegeben werden wird:

Satz 141. Es sei eine ganze rationale positive Zahl von der Gestalt , oder , oder

(, , , …),

wo , , … voneinander verschiedene ungerade Primzahlen bedeuten. Es seien ferner , , … Primitivzahlen bez. nach , , … und mit ihrer Hilfe die betreffenden Symbole definiert. Dann kann die Klassenanzahl des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln auf folgende zwei Weisen ausgedrückt werden:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 235. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/252&oldid=- (Version vom 10.7.2016)