Beweis. Ist
nach
, wo
wieder eine Zahl in
bedeutet, so folgt
nach
, d. h.
. Um die Umkehrung hiervon zu zeigen, bezeichnen wir mit
eine Primitivzahl nach
und setzen
nach
. Nehmen wir
an, so folgt
nach
, d. h.
ist durch
teilbar, und folglich ist
ein
-ter Potenzrest nach
, was zu beweisen war.
Für eine Primitivzahl
nach
ist der Potenzcharakter
sicherlich von
verschieden. Denn in der Reihe der Potenzen
,
, … ist
die erste, welche
nach
ausfällt, und also ist
nach
.
Es sei
; man bestimme eine zu
prime ganze rationale Zahl
derart, daß
nach
wird; dann ist offenbar
eine solche Primitivzahl nach
, für welche
ausfällt. Ist nun
eine ganze, nicht durch
teilbare Zahl in
, und hat man
nach
, so besitzt
den Potenzcharakter
.
Hieraus ist leicht ersichtlich, daß das vollständige System der
einander nach
inkongruenten Zahlen
,
,
, …,
in
Teilsysteme zerfällt, von denen jedes
Zahlen vom nämlichen Potenzcharakter enthält. Insbesondere gibt es genau
einander inkongruente
-te Potenzreste nach
.
Ist
ein beliebiges zu
primes Ideal und
eine zu
prime ganze Zahl in
, und wird
gesetzt, wo
,
, …
Primideale bedeuten, so werde das Symbol
durch die Gleichung
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definiert.
§ 114.
Ein Hilfssatz über den Potenzcharakter der
-ten Potenz der Lagrangeschen Wurzelzahl.
Es ist Eisenstein gelungen, dasjenige Reziprozitätsgesetz zu entdecken und zu beweisen, welches im Körper
zwischen einer rationalen Zahl und einer beliebigen Zahl dieses Körpers besteht; dabei ist wieder
gesetzt, und
bedeutet eine ungerade Primzahl. Dieses Reziprozitätsgesetz ist zugleich ein bisher unentbehrliches Hilfsmittel zum Beweise des allgemeineren Kummerschen Reziprozitätsgesetzes (vgl. Kap. 31). Dem Beweise des Eisensteinschen Reziprozitätsgesetzes ist der folgende Hilfssatz vorauszuschicken: