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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/245

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25. Das Reziprozitätsgesetz für -te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der -ten Einheitswurzeln.

§ 113. Der Potenzcharakter einer Zahl und das Symbol .

Es sei eine ungerade Primzahl, ‚ und bezeichne den durch bestimmten Kreiskörper. Ist dann eine rationale, von verschiedene Primzahl und ein in aufgehendes Primideal in , und ist der Grad von ‚ so gilt nach Satz 24 für jede nicht durch teilbare ganze Zahl des Körpers die Kongruenz

.

Da nach Satz 119 durch teilbar ist, so gestattet die linke Seite dieser Kongruenz die Zerlegung

,

wo das Produkt über die Werte zu erstrecken ist. Hieraus folgt, daß für einen und jedenfalls auch nur einen Wert die Kongruenz

erfüllt ist. Man nennt die hier auftretende Einheitswurzel den Potenzcharakter der Zahl in Bezug auf das Primideal im Körper und bezeichnet diese Einheitswurzel durch das Symbol

,

so daß die Kongruenz

(45)

gilt [Kummer (10[1])].

Sind und zwei durch nicht teilbare ganze Zahlen in , so besteht, wie hieraus leicht ersichtlich, die Gleichung

.

Wenn insbesondere die ganze Zahl nach dem Primideal der -ten Potenz einer ganzen Zahl in kongruent ist, so heißt ein -ter Potenzrest nach dem Primideal . Es gilt die Tatsache:

Satz 139. Bedeutet ein von verschiedenes Primideal und eine ganze zu prime Zahl in , so ist dann und nur dann -ter Potenzrest nach , wenn ausfällt.


  1. [359] Über allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)