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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/242

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Die übrigen Behauptungen des Satzes 137 gehen unmittelbar aus den Sätzen 133 und 134 hervor.

Aus den zu gehörenden Wurzelzahlen gewinnt man leicht nach Formel (41) die sämtlichen Normalbasen , , …, des Abelschen Körpers .

§ 111. Die Lagrangesche Normalbasis und die Lagrangesche Wurzelzahl.

Es sei wieder eine ungerade Primzahl, , ferner eine rationale Primzahl von der Form , es werde gesetzt, und es bezeichne eine Primitivzahl nach . Endlich bedeute den Abelschen Körper -ten Grades mit der Diskriminante .

Die Zahlen , , …, bilden eine Normalbasis des Körpers ; aus dem Beweise des Hilfssatzes 20 geht dann hervor, daß die Zahlen

eine Normalbasis des Körpers bilden. Aus dieser Normalbasis entspringt die folgende Wurzelzahl dieses Körpers:

Diese besondere Normalbasis , , …, soll die Lagrangesche Normalbasis und die besondere Wurzelzahl die Lagrangesche Wurzelzahl heißen.

§ 112. Die charakteristischen Eigenschaften der Lagrangeschen Wurzelzahl.

Die Lagrangesche Wurzelzahl des Körpers zeichnet sich vor den übrigen Wurzelzahlen von durch folgende Eigenschaften aus:

Satz 138. Wenn die -te Potenz der Lagrangeschen Wurzelzahl gemäß Satz 135 durch die Formel

dargestellt wird, so ist das durch die Formel

, 
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 225. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/242&oldid=- (Version vom 31.7.2018)