Die übrigen Behauptungen des Satzes 137 gehen unmittelbar aus den Sätzen 133 und 134 hervor.
Aus den zu
gehörenden Wurzelzahlen gewinnt man leicht nach Formel (41) die sämtlichen Normalbasen
,
, …,
des Abelschen Körpers
.
§ 111. Die Lagrangesche Normalbasis und die Lagrangesche Wurzelzahl.
Es sei wieder
eine ungerade Primzahl,
, ferner
eine rationale Primzahl von der Form
, es werde
gesetzt, und es bezeichne
eine Primitivzahl nach
. Endlich bedeute
den Abelschen Körper
-ten Grades mit der Diskriminante
.
Die
Zahlen
,
, …,
bilden eine Normalbasis des Körpers
; aus dem Beweise des Hilfssatzes 20 geht dann hervor, daß die
Zahlen
|
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eine Normalbasis des Körpers
bilden. Aus dieser Normalbasis entspringt die folgende Wurzelzahl dieses Körpers:
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Diese besondere Normalbasis
,
, …,
soll die Lagrangesche Normalbasis und die besondere Wurzelzahl
die Lagrangesche Wurzelzahl heißen.
§ 112. Die charakteristischen Eigenschaften der Lagrangeschen Wurzelzahl.
Die Lagrangesche Wurzelzahl
des Körpers
zeichnet sich vor den übrigen Wurzelzahlen von
durch folgende Eigenschaften aus:
Satz 138. Wenn die
-te Potenz
der Lagrangeschen Wurzelzahl
gemäß Satz 135 durch die Formel
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dargestellt wird, so ist
das durch die Formel
,
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