die in Satz 135 gegebene Darstellung durch
einführen, so folgt
,
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und diese Gleichung zeigt, wenn wir daraus die Zerlegung von
selbst ermitteln, die Richtigkeit des Satzes 136.
Ist
eine beliebige Idealklasse des Kreiskörpers
und
ein Ideal in
, und bezeichnen wir mit
,
, …,
bez. die durch
,
, …,
bestimmten Idealklassen, so folgt mit Hilfe des Satzes 89 aus Satz 136 unmittelbar die Tatsache:
.
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§ 110. Die Konstruktion sämtlicher Normalbasen und Wurzelzahlen.
Die Sätze 133, 134 und 135 ermöglichen zunächst die Konstruktion sämtlicher Wurzelzahlen des Abelschen Körpers
. Es gilt nämlich die Tatsache:
Satz Satz 137. Bezeichnen
und
für den Abelschen Körper
vom ungeraden Primzahlgrade
mit der Diskriminante
zwei verschiedene, aber zu derselben erzeugenden Substitution
der Gruppe dieses Körpers gehörende Wurzelzahlen, so ist stets
, wo
eine Einheit des Körpers
bedeutet, welche die Kongruenzeigenschaft
nach
besitzt. Umgekehrt, wenn
eine Einheit dieser Art in
und
für
irgendeine Wurzelzahl bezeichnet, so ist
stets wiederum eine Wurzelzahl jenes Abelschen Körpers
.
Beweis. Unter den Voraussetzungen in der ersten Aussage ist der Quotient
eine Zahl des aus
und
zusammengesetzten Körpers, welche beim Übergang von
,
zu
,
ungeändert bleibt und daher im Körper
liegt. Für
werde der im Satze 135 enthaltene Ausdruck angenommen. Ist dann etwa
, wo
eine der Zahlen
,
,
, …
bedeute, dasjenige unter den
konjugierten, in
aufgehenden Primidealen des Körpers
, welches in
nur zur ersten Potenz vorkommt, so hat man nach Satz 135 offenbar
,
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und hieraus folgt, daß das Primideal
in
genau zur
-ten Potenz vorkommt. Der Quotient
kann daher in die Gestalt eines Bruches gebracht werden, dessen Zähler das Primideal
in der
-ten Potenz enthält, während der Nenner zu
prim ist. Da wegen
der Exponent
durch
teilbar sein muß, so folgt
, d. h.
. Wegen dieses Umstandes enthaltend
und
die nämlichen Potenzen von Primidealen, und
ist somit eine Einheit.