bestimmte Primideal; die Zeichen sind im übrigen wie in Satz 135 zu verstehen. Die Lagrangesche Wurzelzahl
ist
nach
und hat ferner die Eigenschaft, daß ihr absoluter Betrag
ist.
Umgekehrt, wenn einer Wurzelzahl
die letzteren Eigenschaften zukommen und außerdem
gerade das soeben definierte Primideal
zur ersten Potenz enthält, so ist
, wo
eine
-te Einheitswurzel bedeutet.
Beweis. Wird
gesetzt, so erkennen wir mit Hilfe der Beziehungen
und
, daß
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wird; hieraus ist ersichtlich, daß
in dem durch
und
bestimmten Körper ein Primideal ist, und daß die Zahl
dieses Primideal
nur zur ersten Potenz enthält. Setzen wir
und berücksichtigen die Kongruenz
nach
und die Gleichung
, so wird:
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wo die bezüglichen Summen über
;
,
zu erstrecken sind. Aus der letzteren Formel gewinnen wir, wenn wir die Reihenfolge der Summationen umkehren, die Kongruenz:
.
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(43)
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Die Lagrangesche Wurzelzahl
enthält also genau die
-te Potenz von
als Faktor, und folglich ist
nur durch die erste Potenz von
teilbar.
Bezeichnen wir die zu
konjugiert imaginäre Zahl mit
, so ist
;
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dann wird, wenn wir im Produkt
immer die je
mit gleicher Potenz von
multiplizierten Glieder zusammennehmen,
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Damit ist der erste Teil des Satzes 138 vollständig bewiesen.