der Veränderlichen
, wenn man nach Ausführung der Multiplikation
durch
ersetzt, lauter durch
teilbare Koeffizienten erhalten muß, d. h. diese Funktion ist
nach
. Daraus ist zunächst
nach
ersichtlich, und wenn
nach
gesetzt wird, wo
eine der Zahlen
,
, …,
bedeute, so folgt für jeden Index
die Kongruenz
, .
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Wir setzen allgemein
so, daß
und
eine ganze rationale Zahl ist; dabei wird stets
. Da
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ist, so folgt
, und daraus geht notwendig
, , …,
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hervor, d. h.
für
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Unter den Zahlen
,
, …,
ist offenbar
die kleinste, und da
unter den Koeffizienten
,
, …,
möglichst klein sein sollte, so folgt
, d. h.
, und nunmehr allgemein
, womit der Satz 135 bewiesen ist.
§ 109.
Eine Äquivalenz für die Primideale ersten Grades des Körpers der
-ten Einheitswurzeln.
Aus den bisherigen Entwicklungen entnehmen wir eine wichtige Eigenschaft der in einer Primzahl
nach
aufgehenden Primideale des Körpers der
-ten Einheitswurzeln. Es gilt nämlich die Tatsache:
Satz 136. Es sei
eine ungerade Primzahl und
, ferner
eine positive Primitivzahl nach
und
; wenn dann
ein beliebiges Primideal ersten Grades in dem Kreiskörper
bedeutet, so besteht die Äquivalenz
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wo die Größen
ganze rationale, durch das Gleichungssystem
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bestimmte, nicht negative Zahlen sind. Dabei haben
,
, …,
dieselbe Bedeutung wie in Satz 135, und es ist außerdem
. [Kummer (6[1], 11[2])].
Beweis. Es mögen
und
dieselbe Bedeutung wie in Satz 133 haben. Nach Satz 133 ist
die
-te Potenz einer Zahl
in
. Wenn wir für ![{\displaystyle \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
- ↑ [359] Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).[WS 1]
- ↑ [359] Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).
Anmerkungen (Wikisource)