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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/239

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Tatsache folgt, daß , , …, eine Basis des Körpers bilden; diese Basis ist offenbar eine Normalbasis. Die Zahl ist wegen (42) die aus dieser Normalbasis entspringende Wurzelzahl des Körpers .

§ 108. Die Zerlegung der -ten Potenz einer Wurzelzahl im Körper der -ten Einheitswurzeln.

Satz 135. Haben , , , , die bisherige Bedeutung, und ist ein Abelscher Körper -ten Grades mit der Diskriminante und eine Wurzelzahl des Körpers , so gestattet die Zahl im Körper die Zerlegung

,

wo ein bestimmtes in aufgehendes Primideal des Körpers bedeutet, und wo allgemein die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der -ten Potenz der Primitivzahl nach kongruent ist [Kummer (6,11)].

Beweis. Die Primzahl zerfällt im Körper in voneinander verschiedene ideale Primfaktoren , , …, ; die Zahl muß durch jedes dieser Primideale teilbar sein. Denn nach dem Beweise zu Satz 134 ist die Relativdifferente des Körpers in bezug auf den Körper ein Teiler von ; wäre nun etwa zu prim, so wäre also diese Relativdifferente und wegen Satz 41 auch die Differente und endlich wegen Satz 68 auch die Diskriminante von prim zu , was nicht sein kann, da sie die Diskriminante von als Faktor enthält. Wegen sind , , …, zugleich die einzigen in aufgehenden Primideale. Es sei ein solcher unter diesen Primfaktoren, welcher in der Zahl zu einer möglichst niedrigen Potenz vorkommt; dann haben wir

,

wo , , …, positive ganze rationale Zahlen bedeuten, unter welchen keine kleiner als ist. Die Bildung von ergibt

.

Da , , …, sämtlich sind, können hiernach diese Zahlen nicht sämtlich durch teilbar sein. Zufolge der ersten im Satze 133 bewiesenen Eigenschaft wird

,

wo eine Zahl in ist. Da die zu konjugierten Primideale sämtlich von und untereinander verschieden sind, so folgt hieraus, daß die ganzzahlige Funktion

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 222. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/239&oldid=- (Version vom 31.7.2018)