wo das Vorzeichen das nämliche wie in den Kongruenzen
,
, … nach
ist; dann wird der Zähler dieses in gebrochener Form erscheinenden Ausdrucks (41) kongruent
nach
. Dieser Zähler stellt eine Zahl in
dar. Ist
in
Primideal, so muß daher dieser Zähler auch durch
teilbar sein, und es ist
eine ganze Zahl. Anderenfalls haben wir im Körper
, da die Diskriminante von
nicht den Faktor
enthält, eine Zerlegung
, wo
, …,
voneinander verschiedene Primideale sind, und im Körper
gilt dann, wie man mit Hilfe von Satz 88 erkennt, die Zerlegung
.
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Da der Zähler des Ausdrucks rechter Hand in (41) durch das Ideal
teilbar ist, so ist derselbe als eine ganze Zahl in
auch durch
teilbar. Entsprechend folgt die Teilbarkeit jenes Zählers durch
, …,
, und es ist derselbe also schließlich auch durch
teilbar, d. h. die durch (41) definierte Zahl
ist auch jetzt eine ganze Zahl.
Durch Benutzung der Gleichung
ergeben sich aus (41) die beiden Formeln:
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(42)
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Eine Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten, wie sie schon beim Beweise des Satzes 133 vorkam, ergibt dann
,
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und hieraus folgt vermittelst der dritten in Satz 133 ausgesprochenen Eigenschaft der Zahl
die Gleichung
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und somit
.
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Wir beweisen nun, daß die Diskriminante des Körpers
notwendig
sein muß. In der Tat ist dieselbe wegen der letzten Gleichung ein positiver Teiler der Zahl
. Da sie nach Satz 44 oder nach Satz 94 nicht gleich
sein kann, so enthält sie die Primzahl
, und zwar nach den Bemerkungen zum Satze 79 notwendig in der
-ten Potenz. Aus der soeben bewiesenen