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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/21

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nach dem Modul die Kongruenz

Andrerseits ist, wenn mit bezüglich die größten absoluten Beträge bezeichnet werden, welche die Funktionen bezüglich auf den geradlinigen Integrationsstrecken zwischen bis annehmen:

und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung

gesetzt wird, die Ungleichung

. (4)

Nun bestimme man eine ganze positive Zahl , welche erstens durch teilbar ist und für welche zweitens wird. Es ist dann infolge der Kongruenz (3) eine nicht durch teilbare und daher notwendig von verschiedene ganze Zahl, und da überdies infolge der Ungleichung (4), absolut genommen, kleiner als wird, so ist die Gleichung

unmöglich.

Es ist leicht zu erkennen, wie auf dem eingeschlagenen Wege ebenso einfach auch der allgemeinste Lindemannsche Satz über die Exponentialfunktion sich beweisen läßt.

Königsberg i. Pr., den 5. Januar 1893.