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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

Man erkennt leicht, daß der Satz 102 auch in der Abänderung zutrifft, daß die Erfüllung der Bedingung ${\frac {n,\,m}{w}}=+1$ nur für alle ungeraden Primzahlen $w$ verlangt, dann aber die Bedingung hinzugefügt wird, daß wenigstens eine der beiden Zahlen $n$, $m$ positiv ist [Lagrange (1^[1]), Legendre (1^[2]), Gauss (1^[3])]; in der Tat ist nach Hilfssatz 14 die Gleichung $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{2}}\right)=+1$ dann von selbst miterfüllt.

§ 72. Die Klassen des Hauptgeschlechtes.

Am Schlusse des § 66 haben wir gezeigt, daß das Quadrat einer Idealklasse stets dem Hauptgeschlechte angehört. Durch den Satz 102 des § 71 haben wir ein Mittel, die umgekehrte Tatsache einzusehen.

Satz 103. In einem quadratischen Körper ist jede Klasse des Hauptgeschlechtes stets gleich dem Quadrat einer Klasse [Gauss (1^[3])].

Beweis. Es sei $H$ im Körper $\textstyle k\left({\sqrt {m}}\right)$ eine Klasse des Hauptgeschlechts, ${\mathfrak {h}}$ ein solches Ideal aus der Klasse $H$, welches zur Diskriminante $d$ des Körpers $\textstyle k\left({\sqrt {m}}\right)$ prim ausfällt, und ${\overline {n}}$ sei die mit dem bezüglichen Vorzeichen gemäß § 65 versehene Norm des Ideals ${\mathfrak {h}}$. Diese Zahl ${\overline {n}}$ erfüllt dann für jede beliebige Primzahl $w$ die Bedingung $\textstyle \left({\frac {{\overline {n}},\,m}{w}}\right)=+1$, und es ist mithin dem Satze 102 zufolge ${\overline {n}}=n(\alpha )$, wo $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $\textstyle k\left({\sqrt {m}}\right)$ bedeutet. Setzen wir$\textstyle {\frac {\mathfrak {h}}{\alpha }}={\frac {\mathfrak {k}}{{\mathfrak {k}}'}}$‚ wo ${\mathfrak {k}}$ und ${\mathfrak {k}}'$ zueinander prime Ideale seien, so folgt $\textstyle {\frac {{\mathfrak {k}}\cdot s{\mathfrak {k}}}{{\mathfrak {k}}'\cdot s{\mathfrak {k}}'}}=1$, und mithin ist notwendigerweise ${\mathfrak {k}}'=s{\mathfrak {k}}$. Da ${\mathfrak {k}}\cdot s{\mathfrak {k}}\sim 1$ ist, so folgt ${\mathfrak {h}}\sim {\mathfrak {k}}^{2}$.

Die eben bewiesene charakteristische Eigenschaft der Ideale des Hauptgeschlechts steht in engem Zusammenhange mit einer anderen gleichfalls charakteristischen Eigenschaft dieser Ideale, welche in folgendem Satze ihren Ausdruck findet:

Satz 104. Sind $\omega _{1}$, $\omega _{2}$ Basiszahlen des quadratischen Körpers $k$ und $\eta _{1}$, $\eta _{2}$ Basiszahlen eines zum Hauptgeschlecht von $k$ gehörigen Ideals ${\mathfrak {h}}$, und ist endlich $N$ eine beliebig gegebene ganze rationale Zahl, so lassen sich stets vier rationale Zahlen $r_{11}$, $r_{12}$, $r_{21}$, $r_{22}$ finden, deren Nenner zu $N$ prim sind, für welche die Determinante $r_{11}r_{22}-r_{12}r_{21}$ den Wert $\pm 1$ hat, und vermittelst derer

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}={\frac {r_{11}\omega _{1}+r_{12}\omega _{2}}{r_{21}\omega _{1}+r_{22}\omega _{2}}}$

wird.

Beweis. Man bestimme ein zu ${\mathfrak {h}}$ äquivalentes Ideal ${\mathfrak {h}}'=\beta {\mathfrak {h}}$‚ welches zu $Nd$ prim ist. Wie in dem Beweise zum Satz 103 bereits benutzt wurde, ist ${\overline {n}}=\pm n({\mathfrak {h}}')$, wenn das Vorzeichen gemäß § 65 gewählt wird, stets gleich

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1. Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré. Werke 2, 375 (1868).
2. Essai sur la théorie des nombres 1798.
3. Disquisitiones arithmeticae. Werke 1 (1801).

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 175. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/192&oldid=- (Version vom 31.7.2018)