gewiß stets ein Ideal
derart, daß
wird. Wir wählen nun in der
durch
bestimmten Idealklasse ein solches Ideal
aus, dessen Norm
ist, wo
die Diskriminante des durch
bestimmten Körpers bedeutet. Dies ist nach Satz 50 stets möglich. Wir setzen dann
und
; dabei bedeutet
eine ganze oder gebrochene Zahl in
, und es wird
, wo das positive oder das negative Vorzeichen gilt, je nachdem
positiv oder negativ ausfällt. Die ganze rationale Zahl
fällt daher insbesondere gewiß positiv aus, falls
negativ ist. Da
den Wert
oder
hat, so ist gewiß
, und hieraus folgt
, sobald
, d. h.
ist. Andererseits gilt wegen
die Gleichung
und dann nach Formel
in Satz 98 auch
für jede beliebige Primzahl
.
Wir machen nun die Annahme, daß der zu beweisende Satz 102 bereits
für jeden Körper
feststehe, bei welchem die bestimmende Zahl
,
mag sie positiv oder negativ sein, der Ungleichung
genügt. Sowie
die vorhin gefundene Zahl
die Bedingung
erfüllt und keine
Quadratzahl ist, muß dann, da. auch die Bedingung
für jede
beliebige Primzahl
gilt, infolge der angenommenen Gültigkeit unseres Satzes 102, die Zahl
die Norm einer Zahl
im Körper
sein, d. h. es gibt zwei ganze oder gebrochene rationale Zahlen
und
derart, daß
wird; wenn aber
eine Quadratzahl ist, so versteht sich die
Möglichkeit dieser Gleichung ohne weiteres. Da
sein muß, so folgt hieraus
, d. h. es ist
die Norm einer Zahl
im Körper
. Die Verbindung dieser Tatsache mit der Gleichung
ergibt
‚ wo
wieder eine Zahl in
bedeutet.
Der vollständige Beweis unseres Satzes 102 wird hiernach offenbar geführt sein, sobald wir seine Richtigkeit für alle die Fälle erkannt haben, in denen
und zugleich
statthat. Bei dieser Einschränkung der Zahlen
,
treffen die Bedingungen des Satzes 102 nur in 8 Fällen zu. Die Gleichungen
zeigen, daß in diesen 8 Fällen unser Satz 102 gültig ist.