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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/168

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am Schluß des § 91), so lassen sich zwei ganzzahlige Funktionen , von und eine von verschiedene ganze rationale Zahl derart bestimmen, daß

wird. Hieraus folgt unter Berücksichtigung von

die Gleichung , welche unserer Annahme zuwider läuft; dabei bedeuten und Einheiten in .

Nunmehr wähle man eine Einheit so, daß , , , …, , , …, , ein System unabhängiger Einheiten bilden, und beweise dann in ähnlicher Weise, wie vorher, daß auch die Einheiten , , …, , , , …, , , …‚ , unabhängige Einheiten sind. So fortfahrend, gelangen wir zu Einheiten , …‚ von der Beschaffenheit, daß die Einheiten

ein System von unabhängigen Einheiten bilden. Die Zahl dieser Einheiten beträgt

.

Es sei nun eine so hohe Potenz von , daß ein Ausdruck

(20)

in welchem , …, beliebige ganzzahlige Funktionen vom -ten Grade in bedeuten und die auf S. 150 erklärte Bedeutung hat, nicht anders eine -te Potenz einer Einheit in werden kann, als wenn alle Koeffizienten der Funktionen , …, durch teilbar sind. Daß es eine solche Potenz stets geben muß‚ folgt, wenn man die nach Satz 47 existierenden Grundeinheiten des Körpers zu Hilfe zieht.

Wir berücksichtigen ferner die Identität

,

in der eine ganzzahlige Funktion bedeutet; da hiernach die -te symbolische Potenz einer Zahl in zugleich auch eine -te wirkliche Potenz ist, so folgt, daß der Ausdruck (20) nicht anders die -te symbolische Potenz einer Einheit werden kann, als wenn die ganzen algebraischen Zahlen ‚ …, sämtlich durch teilbar sind.

Es sei nun die größte ganze rationale Zahl von der Art, daß ein Ausdruck von der Gestalt (20) eine -te symbolische Potenz einer Einheit ist, ohne daß sämtliche Zahlen , …‚ durch teilbar sind; wir nehmen an, es sei ein solcher Ausdruck:

,
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 151. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/168&oldid=- (Version vom 31.7.2018)