Berücksichtigt man, daß nach Voraussetzung
ist und folglich auch
wird, so ergibt sich
. Da
eine rationale Funktion von
ist, welche, wie leicht ersichtlich, nicht identisch für alle
verschwindet, so kann man eine ganze rationale Zahl
so wählen, daß
, eine von
verschiedene Zahl in
wird. Die Zahl
genügt dann der Gleichung
. Setzen wir
, wo
eine ganze algebraische Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet, so ist auch
.
§ 55. Das System von relativen Grundeinheiten und der Nachweis ihrer Existenz.
Ein zweiter wichtiger Satz über den Körper
betrifft eine Eigenschaft der Einheiten in
. Kommen unter den
konjugierten Körpern, welche durch
bestimmt sind,
reelle Körper und
Paare konjugiert imaginärer Körper vor, so ist nach Satz 47 die Zahl der Grundeinheiten in
gleich
. Wir definieren nun den Begriff eines Systems von relativen Grundeinheiten des Körpers
bezüglich
. Unter einem solchen System verstehen wir ein System von
Einheiten
, …,
im Körper
von der Eigenschaft, daß eine Einheit von der Gestalt
nur dann die symbolische
-te Potenz einer Einheit in
werden kann, wenn die ganzen algebraischen Zahlen
, …,
sämtlich durch
teilbar sind. Dabei bedeuten
, …,
ganzzahlige Funktionen von
;
bedeutet eine beliebige Einheit des Körpers
oder eine solche Einheit des Körpers
, deren
-te Potenz eine Einheit in
ist;
endlich bedeutet eine von
verschiedene
-te Einheitswurzel.
Satz 91. Wenn der Relativgrad
des relativ-zyklischen Körpers
in
bezug auf den Körper
eine ungerade Primzahl ist, so existiert in
stets ein
System von
relativen Grundeinheiten, wobei
für
die Bedeutung wie
in Satz 47 hat.
Beweis. Wegen
kommen unter den
durch
bestimmten konjugierten Körpern
, reelle Körper und
imaginäre Paare von Körpern vor. Es sei
, …‚
, ein System von
Grundeinheiten des Körpers
. Man wähle unter den Einheiten in
eine solche Einheit
aus, daß
,
, …,
ein System von unabhängigen Einheiten bilden; dann müssen auch die
Einheiten
,
, …,
,
, …,
ein System unabhängiger Einheiten sein.
Zum Beweise hierfür machen wir die gegenteilige Annahme und denken uns
, wo
eine nicht identisch verschwindende ganzzahlige Funktion vom
-ten Grade in
und
eine Einheit des Körpers
bedeutet. Da die Funktion
irreduzibel ist, (vgl. die Bemerkung