15. Der relativ-zyklische Körper vom Primzahlgrade.
§ 54.
Die symbolische Potenz, Der Satz von den Zahlen mit der Relativnorm
.
Es soll jetzt über relativ Abelsche Körper eine Reihe fundamentaler Sätze abgeleitet werden. Um dieselben leichter aussprechen und beweisen zu können, schicken wir einige Bezeichnungen und Festsetzungen voraus.
Es sei
ein Zahlkörper vom Grade
; derselbe sei relativ-zyklisch in bezug auf den Körper
vom
-ten Grade; der Relativgrad
sei eine Primzahl. Die Substitutionen der zyklischen Relativgruppe seien
. Endlich definieren wir den Begriff der symbolischen Potenz einer Zahl
des Körpers
, wie folgt: wenn
eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl in
ist und
irgendwelche ganze rationale Zahlen bedeuten, so möge der Ausdruck
|
|
zur Abkürzung mit
|
|
bezeichnet werden, wo
die auf der linken Seite im Exponenten von
stehende ganzzahlige Funktion von
bedeutet. Die symbolische
-te Potenz von
stellt hiernach stets wiederum eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers
dar. Diese symbolische Potenzierung kann als Verallgemeinerung einer Bezeichnungsweise angesehen werden, welche Kronecker im Falle des Kreiskörpers eingeführt hat [Kronecker (1[1])].
Wir beweisen nun der Reihe nach folgende Eigenschaften des relativ-zyklischen Körpers
:
Satz 90. Jede ganze oder gebrochene Zahl
in
, deren Relativnorm in bezug auf
gleich
ist, wird die symbolische
-te Potenz einer gewissen ganzen Zahl
des Körpers
.
Beweis. Es sei
eine Veränderliche und
eine den Körper
bestimmende Zahl; dann setze man:
|
|
und
.
|
|
Berücksichtigt man, daß nach Voraussetzung
![{\displaystyle {\mathsf {A}}^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdaaaa928248efb7bbeced84cea0046f85e8a0b)
ist und folglich auch
![{\displaystyle {\mathsf {A}}_{x}^{1+S+\dots +S^{l-1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a10cd5fe6f301900b1bf7c7e11f7de30c3c0038)
wird, so ergibt sich
![{\displaystyle {\mathsf {B}}_{x}^{1-S}={\mathsf {A}}_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fccd0350f9805c6099054ea14036c1b8a02f04e)
. Da
![{\displaystyle {\mathsf {B}}_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a191a5d8b4324f87766023aa313fea8b181e2d1)
eine rationale Funktion von
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
ist, welche, wie leicht ersichtlich, nicht identisch für alle
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
verschwindet, so kann man eine ganze rationale Zahl
![{\displaystyle x=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaae23950e96a955ab5b07015a168fd931d4d82b)
so wählen, daß
![{\displaystyle {\mathsf {B}}_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd075b4b8f7e862380dcc9ff2d2de78613c5d12)
, eine von
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
verschiedene Zahl in
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
wird. Die Zahl
![{\displaystyle {\mathsf {B}}^{*}={\frac {{\mathsf {B}}_{a}}{a+\Theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603a792b287758f15f6fb44500c9e438252737b1)
genügt dann der Gleichung
![{\displaystyle {\mathsf {A}}={\mathsf {B}}^{*1-S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b23b242ac4933ee599e0282960499855118f9f)
. Setzen wir
![{\displaystyle {\mathsf {B}}^{*}={\frac {\mathsf {B}}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddefc364b1c8e622ebb42b99104d1d162364b468)
, wo
![{\displaystyle {\mathsf {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c514c84ce9f51c837a9d01300544d88ec4f0dd)
eine ganze algebraische Zahl in
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
und
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
eine ganze rationale Zahl bedeutet, so ist auch
![{\displaystyle {\mathsf {A}}={\mathsf {B}}^{1-S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1417ffd68df5a0c8982e07f80e605d9a70b396)
.
§ 55. Das System von relativen Grundeinheiten und der Nachweis ihrer Existenz.
Ein zweiter wichtiger Satz über den Körper
betrifft eine Eigenschaft der Einheiten in
. Kommen unter den
konjugierten Körpern, welche durch
bestimmt sind,
reelle Körper und
Paare konjugiert imaginärer Körper vor, so ist nach Satz 47 die Zahl der Grundeinheiten in
gleich
. Wir definieren nun den Begriff eines Systems von relativen Grundeinheiten des Körpers
bezüglich
. Unter einem solchen System verstehen wir ein System von
Einheiten
, …,
im Körper
von der Eigenschaft, daß eine Einheit von der Gestalt
nur dann die symbolische
-te Potenz einer Einheit in
werden kann, wenn die ganzen algebraischen Zahlen
, …,
sämtlich durch
teilbar sind. Dabei bedeuten
, …,
ganzzahlige Funktionen von
;
bedeutet eine beliebige Einheit des Körpers
oder eine solche Einheit des Körpers
, deren
-te Potenz eine Einheit in
ist;
endlich bedeutet eine von
verschiedene
-te Einheitswurzel.
Satz 91. Wenn der Relativgrad
des relativ-zyklischen Körpers
in
bezug auf den Körper
eine ungerade Primzahl ist, so existiert in
stets ein
System von
relativen Grundeinheiten, wobei
für
die Bedeutung wie
in Satz 47 hat.
Beweis. Wegen
kommen unter den
durch
bestimmten konjugierten Körpern
, reelle Körper und
imaginäre Paare von Körpern vor. Es sei
, …‚
, ein System von
Grundeinheiten des Körpers
. Man wähle unter den Einheiten in
eine solche Einheit
aus, daß
,
, …,
ein System von unabhängigen Einheiten bilden; dann müssen auch die
Einheiten
,
, …,
,
, …,
ein System unabhängiger Einheiten sein.
Zum Beweise hierfür machen wir die gegenteilige Annahme und denken uns
, wo
eine nicht identisch verschwindende ganzzahlige Funktion vom
-ten Grade in
und
eine Einheit des Körpers
bedeutet. Da die Funktion
irreduzibel ist, (vgl. die Bemerkung am Schluß des § 91), so lassen sich zwei ganzzahlige Funktionen
,
von
und eine von
verschiedene ganze rationale Zahl
derart bestimmen, daß
|
|
wird. Hieraus folgt unter Berücksichtigung von
die Gleichung
, welche unserer Annahme zuwider läuft; dabei bedeuten
und
Einheiten in
.
Nunmehr wähle man eine Einheit
so, daß
,
,
, …,
,
, …,
, ein System unabhängiger Einheiten bilden, und beweise dann in ähnlicher Weise, wie vorher, daß auch die Einheiten
,
, …,
,
,
, …,
,
, …‚
, unabhängige Einheiten sind. So fortfahrend, gelangen wir zu
Einheiten
, …‚
von der Beschaffenheit, daß die Einheiten
|
|
ein System von unabhängigen Einheiten bilden. Die Zahl dieser Einheiten beträgt
.
|
|
Es sei nun
eine so hohe Potenz von
, daß ein Ausdruck
|
(20)
|
in welchem
, …,
beliebige ganzzahlige Funktionen vom
-ten Grade in
bedeuten und
die auf S. 150 erklärte Bedeutung hat, nicht anders eine
-te Potenz einer Einheit in
werden kann, als wenn alle Koeffizienten der
Funktionen
, …,
durch
teilbar sind. Daß es eine solche Potenz
stets geben muß‚ folgt, wenn man die
nach Satz 47 existierenden Grundeinheiten des Körpers
zu Hilfe zieht.
Wir berücksichtigen ferner die Identität
,
|
|
in der
eine ganzzahlige Funktion bedeutet; da hiernach die
-te symbolische Potenz einer Zahl in
zugleich auch eine
-te wirkliche Potenz ist, so folgt, daß der Ausdruck (20) nicht anders die
-te symbolische Potenz einer Einheit werden kann, als wenn die ganzen algebraischen Zahlen
‚ …,
sämtlich durch
teilbar sind.
Es sei nun
die größte ganze rationale Zahl
von der Art, daß ein Ausdruck von der Gestalt (20) eine
-te symbolische Potenz einer Einheit ist, ohne daß sämtliche Zahlen
, …‚
durch
teilbar sind; wir nehmen an, es sei ein solcher Ausdruck:
,
|
|
wo
![{\displaystyle F_{1}(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5786d8a522fc8c509159a637afc1b4928dd31f)
, …‚
![{\displaystyle F_{r+1}(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88445ae9763b1fd12bde7c7002a1ceeb6c16c25d)
gewisse ganze rationale Funktionen von
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
sind und etwa
![{\displaystyle F_{1}(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e928bbd7222e3faeb94615bcd2fa18549c9510)
nicht durch
![{\displaystyle 1-\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25af2cf948771e1911bcf019e0193ff1535576bc)
teilbar sein möge;
![{\displaystyle [\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5139270a1d58ba6553c9b2e829be9160f523ed)
hat die frühere Bedeutung,
und
ist eine gewisse Einheit des Körpers
. Des weiteren nehmen wir an, es sei
die größte ganze Zahl
von der Beschaffenheit, daß ein entsprechend aus den Einheiten
, …,
gebildeter Ausdruck existiert, der die
-te symbolische Potenz einer Einheit in
wird; es sei etwa ein solcher Ausdruck:
|
|
wo
, …,
wiederum gewisse ganze rationale Funktionen von
sind und etwa
nicht durch
teilbar sein möge;
bedeutet eine Einheit in
. So fortfahrend, gelangen wir zu
Einheiten
,
, …,
; dieselben bilden ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers
.
Um dies zu zeigen, nehmen wir im Gegenteil an, es gäbe
ganze rationale Funktionen
, …,
derart, daß
|
|
wird, wo
eine Einheit in
bedeutet; es sei ferner unter den Zahlen
, …,
etwa
die erste nicht durch
teilbare Zahl: dann wäre offenbar auch der Teil
|
|
des letzten Produkts die
-te symbolische Potenz einer Einheit des Körpers
. Da aber in der Reihe der Zahlen
,
, …,
keine folgende größer ist als die vorhergehende, so stoßen wir, wenn wir den letzten Ausdruck in die
-te Potenz erheben und dann wieder die Einheiten
, …,
einführen, auf einen Widerspruch mit unseren Festsetzungen.
Der eben bewiesene Satz 91 gilt, wie leicht ersichtlich, auch für
, wenn in diesem Falle noch der Umstand hinzukommt, daß unter den durch
bestimmten
einander konjugierten Körpern doppelt so viel reelle Körper als unter den durch
bestimmten
konjugierten Körpern vorhanden sind.
§ 56.
Die Existenz einer Einheit in
, welche die Relativnorm
besitzt und doch nicht dem Quotienten zweier relativ-konjugierten Einheiten gleich wird.
Satz 92. Falls der Relativgrad
des relativ-zyklischen Körpers
in bezug auf den Körper
eine ungerade Primzahl ist, gibt es in
stets eine Einheit
, deren Relativnorm in bezug auf
gleich
ausfällt, und welche doch nicht die symbolische
-te Potenz von einer Einheit des Körpers
ist.
Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß der Körper
nicht die
-te Einheitswurzel
enthält. Es seien
, …,
irgend
Einheiten in
; dann folgt, daß es stets
ganze rationale Zahlen
, …‚
gibt, welche nicht sämtlich durch
teilbar sind, und für welche
wird. In der Tat, wären in einer Gleichung von der letzteren Gestalt die Exponenten
, …,
sämtlich durch
teilbar, so müßte
eine
-te Einheitswurzel und demnach infolge der Voraussetzung
sein; hieraus ergibt sich durch Wiederholung des Verfahrens das Gesagte. Nehmen wir nun
, …,
gleich den Relativnormen von
, …,
, wo
, …‚
ein System von relativen Grundeinheiten in
sind, und setzen dann
, so folgt
und daher nach dem Satz 90:
; da
, …‚
relative Grundeinheiten sind, so ist die Zahl
keine Einheit.
Um den Satz 92 allgemein zu beweisen, werde angenommen, daß
die primitive
-te Einheitswurzel
, aber nicht die primitive
-te Einheitswurzel enthielte. Durch ein ähnliches Verfahren, wie das oben angewandte, wird erkannt, daß, wenn
, …‚
irgendwelche
Einheiten in
sind, stets eine ganze rationale Zahl
und ferner
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen
, …‚
von der Art gefunden werden können, daß
|
|
ist.
Andererseits bedenke man, daß die Relativnorm
|
|
wird und daher nach Satz 90
eine
-te symbolische Potenz werden muß. Gäbe es nun keine Einheit
in
, so daß
ist, so wäre bereits
eine Zahl von der gewünschten Beschaffenheit. Im anderen Falle folgt
, d. h.
, und daher stellt
eine Einheit
in
dar, während
selbst gewiß nicht in
liegt. Wegen
ergibt sich
. Es sei
, …,
ein System von relativen Grundeinheiten in
; wir setzen nun:
|
|
wo
,
, …,
die vorhin bestimmten Zahlen sind und
die
-te Wurzel aus einer Einheit des Körpers
bedeutet; dann wird
. Die Zahlen
, …,
können nicht sämtlich durch
teilbar sein. Denn aus
|
|
würde dann
|
|
folgen, wo
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Da
bei unserer Annahme nicht auch durch
teilbar sein darf, so würde aus der letzten Gleichung folgen, daß
in
liegt, was nicht zutrifft. Die Einheit
erfüllt daher alle Bedingungen des Satzes 92.
Die Sätze 90, 91 und 92 sind zum Teil und in anderer Form bereits von Kummer für den Fall bewiesen worden, daß der Unterkörper
der durch
bestimmte Kreiskörper
—ten Grades ist [Kummer (14[2], 20[3], 21[4])].
§ 57.
Die ambigen Ideale und die Relativdifferente des relativ-zyklischen Körpers
.
Wenn ein Ideal
des relativ-zyklischen Körpers
bei Anwendung der Substitution
ungeändert bleibt und überdies keinen Faktor enthält, welcher ein Ideal in
ist, so heißt
ein ambiges Ideal. Insbesondere heißt ein Primideal des Körpers
, wenn dasselbe bei Anwendung der Substitution
ungeändert bleibt und nicht zugleich im Körper
liegt, ein ambiges Primideal.
Satz 93. Die Relativdifferente des relativ-zyklischen Körpers
in bezug auf
enthält alle und nur diejenigen Primideale
, welche ambig sind.
Beweis. Ist
ein ambiges Ideal, so wird seine Relativnorm
. Da nicht eine niedere Potenz von
in
liegen kann, so ist
ein Primideal in
. Umgekehrt, wenn ein Primideal
in
gleich der
-ten Potenz eines Ideals
in
wird, so ist
ein ambiges Primideal.
Wir unterscheiden nun dreierlei Arten von Primidealen
des Körpers
: erstens solche, die der
-ten Potenz eines Primideals
in
gleich sind; zweitens solche, die in
voneinander verschiedene Primideale
, …,
, des Körpers
zerfallen, und drittens solche, die auch in
Primideale sind.
Liegt der erste Fall vor, so setzen wir die Norm
; hieraus folgt
, und mithin ist die Norm
des Primideals
im Körper
ebenfalls gleich
. Die Gleichheit der Normen
und
läßt die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers
einer gewissen ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent ist; aus diesem Umstande erkennt man leicht, daß die Relativdifferente von
in bezug auf
notwendig durch
teilbar ist.
Im zweiten Falle läßt sich in
stets eine ganze Zahl
finden, welche nicht durch
, wohl aber durch alle übrigen
Primideale
, …,
,
, …,
, teilbar ist, und aus diesem Umstande folgt, daß die Relativdifferente der Zahl
und daher auch die des Körpers
nicht durch
teilbar ist.
Was endlich die Primideale
der dritten Art angeht, so sei
eine Primitivzahl nach dem Primideal
in
und
eine Primitivzahl nach
in
, und zugleich sei
eine den Körper
bestimmende Zahl. Es genügt dann
einer Gleichung
-ten Grades von der Gestalt:
|
|
deren Koeffizienten
, …,
, ganze Zahlen in
sind. Wir setzen
|
|
wo
‚ …‚
ganzzahlige Funktionen von
sind, und erhalten so für
die Kongruenz:
|
|
Da wegen
die Anzahl der in
vorhandenen, nach
inkongruenten ganzen Zahlen gleich der
-ten Potenz der Anzahl der in
vorhandenen nach
inkongruenten ganzen Zahlen ist, so kann
keiner Kongruenz niederen als
-ten Grades von der nämlichen Art genügen, und daher ist notwendig
nach
; d. h. die Relativdifferente der Zahl
ist nicht durch
teilbar. Durch diese Betrachtungen ist gezeigt, daß die Relativdifferente des Körpers
stets prim zu den Primidealen der zweiten und dritten Art ist, und hieraus ergibt sich die Richtigkeit des Satzes 93.
§ 58.
Der Fundamentalsatz von den relativ-zyklischen Körpern mit der Relativdifferente
. Die Bezeichnung dieser Körper als Klassenkörper.
Die Sätze 90, 92 und 93 ermöglichen uns die Erkenntnis einer Tatsache, welche für die Theorie der Zahlkörper von weittragender Bedeutung ist. Diese Tatsache ist folgende:
Satz 94. Wenn der relativ-zyklische Körper
von ungeradem Primzahl-Relativgrade
die Relativdifferente
in bezug auf
besitzt, so gibt es stets in
ein Ideal
, welches nicht Hauptideal in
ist, wohl aber ein Hauptideal in
wird. Die
-te Potenz dieses Ideals
ist dann notwendig auch in
ein Hauptideal, und die Klassenanzahl des Körpers
ist mithin durch
teilbar.
Beweis. Nach Satz 92 gibt es eine Einheit
mit der Relativnorm
, welche nicht die
-te Potenz einer Einheit ist. Nach Satz 90 ist
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; d. h. es ist
. Für das Hauptideal
folgt hieraus
. Das Ideal
liegt im Körper
. Denn ist
irgendein in
aufgehendes Primideal des Körpers
, welches nicht in
liegt, so ist nach Satz 93, da wegen der Voraussetzung die Relativdiskriminante keine Teiler besitzt,
, und folglich enthält
auch die Relativnorm
, welche ein in
liegendes Primideal ist. Das Ideal
ist kein Hauptideal im Körper
; denn in diesem Falle wäre
, wo
eine Einheit und
eine Zahl in
bedeutet; hieraus würde
folgen, was dem Obigen
widerstreitet. Damit ist der erste Teil des Satzes 94 bewiesen.
Da
eine Zahl in
und folglich
ein Hauptideal in
ist, so haben wir damit den vollständigen Beweis des Satzes 94 erbracht.
Die Sätze 92 und 94 gelten ebenfalls für
unter der oben auf S. 152 am Schluß von § 55 angegebenen Beschränkung.
Es bietet keine erheblichen prinzipiellen Schwierigkeiten dar, den Satz 94 für solche relativ-Abelsche Körper
mit der Relativdifferente
zu verallgemeinern, deren Relativgrad
eine zusammengesetzte Zahl ist.
Wegen der engen Beziehung, die nach Satz 94 der Körper
zu gewissen Idealklassen des Körpers
aufweist, werde
ein Klassenkörper des Körpers
genannt.