David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.15

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.15 Der relativ-zyklische Körper vom Primzahlgrade.

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15. Der relativ-zyklische Körper vom Primzahlgrade.

§ 54. Die symbolische Potenz, Der Satz von den Zahlen mit der Relativnorm $1$.

Es soll jetzt über relativ Abelsche Körper eine Reihe fundamentaler Sätze abgeleitet werden. Um dieselben leichter aussprechen und beweisen zu können, schicken wir einige Bezeichnungen und Festsetzungen voraus.

Es sei $K$ ein Zahlkörper vom Grade $lm$; derselbe sei relativ-zyklisch in bezug auf den Körper $k$ vom $m$-ten Grade; der Relativgrad $l$ sei eine Primzahl. Die Substitutionen der zyklischen Relativgruppe seien $1,\ S,\ S^{2},\ \ldots ,\ S^{l-1}$. Endlich definieren wir den Begriff der symbolischen Potenz einer Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$, wie folgt: wenn ${\mathsf {A}}$ eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl in $K$ ist und $a,\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{l-1}$ irgendwelche ganze rationale Zahlen bedeuten, so möge der Ausdruck

${\mathsf {A}}^{a}(S{\mathsf {A}})^{a_{1}}(S^{2}{\mathsf {A}})^{a_{2}}\ldots (S^{l-1}{\mathsf {A}})^{a_{l-1}}$

zur Abkürzung mit

${\mathsf {A}}^{a+a_{1}S+a_{2}S^{2}+\cdots +a_{l-1}S^{l-1}}={\mathsf {A}}^{{\boldsymbol {F}}(S)}$

bezeichnet werden, wo ${\boldsymbol {F}}(S)$ die auf der linken Seite im Exponenten von ${\mathsf {A}}$ stehende ganzzahlige Funktion von $S$ bedeutet. Die symbolische ${\boldsymbol {F}}(S)$-te Potenz von ${\mathsf {A}}$ stellt hiernach stets wiederum eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $K$ dar. Diese symbolische Potenzierung kann als Verallgemeinerung einer Bezeichnungsweise angesehen werden, welche Kronecker im Falle des Kreiskörpers eingeführt hat [Kronecker (1^[1])].

Wir beweisen nun der Reihe nach folgende Eigenschaften des relativ-zyklischen Körpers $K$:

Satz 90. Jede ganze oder gebrochene Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$, deren Relativnorm in bezug auf $k$ gleich $1$ ist, wird die symbolische $(1-S)$-te Potenz einer gewissen ganzen Zahl ${\mathsf {B}}$ des Körpers $K$.

Beweis. Es sei $x$ eine Veränderliche und $\Theta$ eine den Körper $K$ bestimmende Zahl; dann setze man:

${\mathsf {A}}_{x}={\frac {x+\Theta }{x+S\Theta }}{\mathsf {A}}=(x+\Theta )^{1-S}{\mathsf {A}}$

und

${\mathsf {B}}_{x}=1+{\mathsf {A}}_{x}^{1}+{\mathsf {A}}_{x}^{1+S}+{\mathsf {A}}_{x}^{1+S+S^{2}}+\cdots +{\mathsf {A}}_{x}^{1+S+S^{2}+\cdots +S^{l-2}}$.

Berücksichtigt man, daß nach Voraussetzung ${\mathsf {A}}^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=1$ ist und folglich auch ${\mathsf {A}}_{x}^{1+S+\dots +S^{l-1}}=1$ wird, so ergibt sich ${\mathsf {B}}_{x}^{1-S}={\mathsf {A}}_{x}$. Da ${\mathsf {B}}_{x}$ eine rationale Funktion von $x$ ist, welche, wie leicht ersichtlich, nicht identisch für alle $x$ verschwindet, so kann man eine ganze rationale Zahl $x=a$ so wählen, daß ${\mathsf {B}}_{a}$, eine von $0$ verschiedene Zahl in $K$ wird. Die Zahl ${\mathsf {B}}^{*}={\frac {{\mathsf {B}}_{a}}{a+\Theta }}$ genügt dann der Gleichung ${\mathsf {A}}={\mathsf {B}}^{*1-S}$. Setzen wir ${\mathsf {B}}^{*}={\frac {\mathsf {B}}{b}}$, wo ${\mathsf {B}}$ eine ganze algebraische Zahl in $K$ und $b$ eine ganze rationale Zahl bedeutet, so ist auch ${\mathsf {A}}={\mathsf {B}}^{1-S}$.

§ 55. Das System von relativen Grundeinheiten und der Nachweis ihrer Existenz.

Ein zweiter wichtiger Satz über den Körper $K$ betrifft eine Eigenschaft der Einheiten in $K$. Kommen unter den $m$ konjugierten Körpern, welche durch $k$ bestimmt sind, $r_{1}$ reelle Körper und $r_{2}$ Paare konjugiert imaginärer Körper vor, so ist nach Satz 47 die Zahl der Grundeinheiten in $k$ gleich $r=r_{1}+r_{2}-1$. Wir definieren nun den Begriff eines Systems von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$ bezüglich $k$. Unter einem solchen System verstehen wir ein System von $r+1$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{r+1}$ im Körper $K$ von der Eigenschaft, daß eine Einheit von der Gestalt ${\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}(S)}\dots {\mathsf {H}}_{r+1}^{F_{r+1}}(S)[\varepsilon ]$ nur dann die symbolische $(1-S)$-te Potenz einer Einheit in $K$ werden kann, wenn die ganzen algebraischen Zahlen $F_{1}(\zeta )$, …, $F_{r+1}(\zeta )$ sämtlich durch $1-\zeta$ teilbar sind. Dabei bedeuten $F_{1}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ ganzzahlige Funktionen von $S$; $[\varepsilon ]$ bedeutet eine beliebige Einheit des Körpers $k$ oder eine solche Einheit des Körpers $K$, deren $l$-te Potenz eine Einheit in $k$ ist; $\zeta$ endlich bedeutet eine von $1$ verschiedene $l$-te Einheitswurzel.

Satz 91. Wenn der Relativgrad $l$ des relativ-zyklischen Körpers $K$ in bezug auf den Körper $k$ eine ungerade Primzahl ist, so existiert in $K$ stets ein System von $r+1$ relativen Grundeinheiten, wobei $r$ für $k$ die Bedeutung wie in Satz 47 hat.

Beweis. Wegen $l\neq 2$ kommen unter den $lm$ durch $K$ bestimmten konjugierten Körpern $lr_{1}$, reelle Körper und $lr_{2}$ imaginäre Paare von Körpern vor. Es sei $\varepsilon _{1}$, …‚ $\varepsilon _{r}$, ein System von $r=r_{1}+r_{2}-1$ Grundeinheiten des Körpers $k$. Man wähle unter den Einheiten in $K$ eine solche Einheit ${\mathsf {E}}_{1}$ aus, daß ${\mathsf {E}}_{1}$, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ ein System von unabhängigen Einheiten bilden; dann müssen auch die $r+l-1$ Einheiten ${\mathsf {E}}_{1}$, ${\mathsf {E}}_{1}^{S}$, …, ${\mathsf {E}}_{1}^{S^{l-2}}$, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ ein System unabhängiger Einheiten sein.

Zum Beweise hierfür machen wir die gegenteilige Annahme und denken uns ${\mathsf {E}}_{1}^{F(S)}=\varepsilon ^{*}$, wo $F(S)$ eine nicht identisch verschwindende ganzzahlige Funktion vom $(l-2)$-ten Grade in $S$ und $\varepsilon ^{*}$ eine Einheit des Körpers $k$ bedeutet. Da die Funktion $1+S+\cdots +S^{l-1}$ irreduzibel ist, (vgl. die Bemerkung am Schluß des § 91), so lassen sich zwei ganzzahlige Funktionen $G_{1}$, $G_{2}$ von $S$ und eine von $0$ verschiedene ganze rationale Zahl $a$ derart bestimmen, daß

$FG_{1}+(1+S+\cdots +S^{l-1})G_{2}=a$

wird. Hieraus folgt unter Berücksichtigung von

${\mathsf {E}}_{1}^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=\varepsilon ^{**}$

die Gleichung ${\mathsf {E}}_{1}^{a}=\varepsilon ^{***}$, welche unserer Annahme zuwider läuft; dabei bedeuten $\varepsilon ^{**}$ und $\varepsilon ^{***}$ Einheiten in $k$.

Nunmehr wähle man eine Einheit ${\mathsf {E}}_{2}$ so, daß ${\mathsf {E}}_{2}$, ${\mathsf {E}}_{1}$, ${\mathsf {E}}_{1}^{S}$, …, ${\mathsf {E}}_{1}^{S^{l-2}}$, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$, ein System unabhängiger Einheiten bilden, und beweise dann in ähnlicher Weise, wie vorher, daß auch die Einheiten ${\mathsf {E}}_{2}$, ${\mathsf {E}}_{2}^{S}$, …, ${\mathsf {E}}_{2}^{S^{l-2}}$, ${\mathsf {E}}_{1}$, ${\mathsf {E}}_{1}^{S}$, …, ${\mathsf {E}}_{1}^{S^{l-2}}$, $\varepsilon _{1}$, …‚ $\varepsilon _{r}$, unabhängige Einheiten sind. So fortfahrend, gelangen wir zu $r_{1}+r_{2}=r+1$ Einheiten ${\mathsf {E}}_{1}$, …‚ ${\mathsf {E}}_{r+1}$ von der Beschaffenheit, daß die Einheiten

${\mathsf {E}}_{i},{\mathsf {E}}_{i}^{S},\ldots ,{\mathsf {E}}_{i}^{S^{l-2}},\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{r}\qquad (i=1,2,\dots ,r+1)$

ein System von unabhängigen Einheiten bilden. Die Zahl dieser Einheiten beträgt

$(r+1)(l-1)+r=lr_{1}+lr_{2}-1$.

Es sei nun $l^{m}$ eine so hohe Potenz von $l$, daß ein Ausdruck

${\mathsf {E}}_{1}^{F_{1}(S)}\dots {\mathsf {E}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}[\varepsilon ],$

(20)

in welchem $F_{1}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ beliebige ganzzahlige Funktionen vom $(l-2)$-ten Grade in $S$ bedeuten und $[\varepsilon ]$ die auf S. 150 erklärte Bedeutung hat, nicht anders eine $l^{m}$-te Potenz einer Einheit in $K$ werden kann, als wenn alle Koeffizienten der $r+1$ Funktionen $F_{1}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ durch $l$ teilbar sind. Daß es eine solche Potenz $l^{m}$ stets geben muß‚ folgt, wenn man die $lr_{1}+lr_{2}-1$ nach Satz 47 existierenden Grundeinheiten des Körpers $K$ zu Hilfe zieht.

Wir berücksichtigen ferner die Identität

$(1-S)^{l}=1-S^{l}+lG(S)$,

in der $G$ eine ganzzahlige Funktion bedeutet; da hiernach die $(1-S)^{lm}$-te symbolische Potenz einer Zahl in $K$ zugleich auch eine $l^{m}$-te wirkliche Potenz ist, so folgt, daß der Ausdruck (20) nicht anders die $(1-S)^{lm}$-te symbolische Potenz einer Einheit werden kann, als wenn die ganzen algebraischen Zahlen $F_{1}(\zeta )$‚ …, $F_{r+1}(\zeta )$ sämtlich durch $1-\zeta$ teilbar sind.

Es sei nun $e_{1}$ die größte ganze rationale Zahl $\geqq 0$ von der Art, daß ein Ausdruck von der Gestalt (20) eine $(1-S)^{e_{1}}$-te symbolische Potenz einer Einheit ist, ohne daß sämtliche Zahlen $F_{1}(\zeta )$, …‚$F_{r+1}(\zeta )$ durch $1-\zeta$ teilbar sind; wir nehmen an, es sei ein solcher Ausdruck:

${\mathsf {E}}_{1}^{F_{1}(S)}\dots {\mathsf {E}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}[\varepsilon ]={\mathsf {H}}_{1}^{(1-S)^{e_{1}}}$,

wo $F_{1}(S)$, …‚ $F_{r+1}(S)$ gewisse ganze rationale Funktionen von $S$ sind und etwa $F_{1}(\zeta )$ nicht durch $1-\zeta$ teilbar sein möge; $[\varepsilon ]$ hat die frühere Bedeutung,

und ${\mathsf {H}}_{1}$ ist eine gewisse Einheit des Körpers $K$. Des weiteren nehmen wir an, es sei $e_{2}$ die größte ganze Zahl $\geqq 0$ von der Beschaffenheit, daß ein entsprechend aus den Einheiten ${\mathsf {E}}_{2}$, …, ${\mathsf {E}}_{r+1}$ gebildeter Ausdruck existiert, der die $(1-S)^{e_{2}}$-te symbolische Potenz einer Einheit in $K$ wird; es sei etwa ein solcher Ausdruck:

${\mathsf {E}}_{2}^{F_{2}(S)}\ldots {\mathsf {E}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}[\varepsilon ]={\mathsf {H}}_{2}^{(1-S)^{e_{2}}}$

wo $F_{2}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ wiederum gewisse ganze rationale Funktionen von $S$ sind und etwa $F_{2}(\zeta )$ nicht durch $1-\zeta$ teilbar sein möge; ${\mathsf {H}}_{2}$ bedeutet eine Einheit in $K$. So fortfahrend, gelangen wir zu $r+1$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, ${\mathsf {H}}_{2}$, …, ${\mathsf {H}}_{r+1}$; dieselben bilden ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$.

Um dies zu zeigen, nehmen wir im Gegenteil an, es gäbe $r+1$ ganze rationale Funktionen $G_{1}(S)$, …, $G_{r+1}(S)$ derart, daß

${\mathsf {H}}_{1}^{G_{1}(S)}\ldots {\mathsf {H}}_{r+1}^{G_{r+1}(S)}[\varepsilon ]={\mathsf {Z}}^{1-S}$

wird, wo ${\mathsf {Z}}$ eine Einheit in $K$ bedeutet; es sei ferner unter den Zahlen $G_{1}(\zeta )$, …, $G_{r+1}(\zeta )$ etwa $G_{h}(\zeta )$ die erste nicht durch $1-\zeta$ teilbare Zahl: dann wäre offenbar auch der Teil

${\mathsf {H}}_{h}^{G_{h}(S)}{\mathsf {H}}_{h+1}^{G_{h+1}(S)}\ldots {\mathsf {H}}_{r+1}^{G_{r+1}(S)}[\varepsilon ]$

des letzten Produkts die $(1-S)$-te symbolische Potenz einer Einheit des Körpers $K$. Da aber in der Reihe der Zahlen $e_{1}$, $e_{2}$, …, $e_{r+1}$ keine folgende größer ist als die vorhergehende, so stoßen wir, wenn wir den letzten Ausdruck in die $(1-S)^{e_{h}}$-te Potenz erheben und dann wieder die Einheiten ${\mathsf {E}}_{h}$, …, ${\mathsf {E}}_{r+1}$ einführen, auf einen Widerspruch mit unseren Festsetzungen.

Der eben bewiesene Satz 91 gilt, wie leicht ersichtlich, auch für $l=2$, wenn in diesem Falle noch der Umstand hinzukommt, daß unter den durch $K$ bestimmten $2m$ einander konjugierten Körpern doppelt so viel reelle Körper als unter den durch $k$ bestimmten $m$ konjugierten Körpern vorhanden sind.

§ 56. Die Existenz einer Einheit in $K$, welche die Relativnorm $1$ besitzt und doch nicht dem Quotienten zweier relativ-konjugierten Einheiten gleich wird.

Satz 92. Falls der Relativgrad $l$ des relativ-zyklischen Körpers $K$ in bezug auf den Körper $k$ eine ungerade Primzahl ist, gibt es in $K$ stets eine Einheit ${\mathsf {H}}$, deren Relativnorm in bezug auf $k$ gleich $1$ ausfällt, und welche doch nicht die symbolische $(1-S)$-te Potenz von einer Einheit des Körpers $K$ ist.

Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß der Körper $k$ nicht die $l$-te Einheitswurzel $\zeta$ enthält. Es seien $\eta _{1}$, …, $\eta _{r+1}$ irgend $r+1$ Einheiten in $k$; dann folgt, daß es stets $r+1$ ganze rationale Zahlen $a_{1}$, …‚ $a_{r+1}$ gibt, welche nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind, und für welche $\eta _{1}^{a_{1}}\dots \eta _{r+1}^{a_{r+1}}=1$ wird. In der Tat, wären in einer Gleichung von der letzteren Gestalt die Exponenten $a_{1}$, …, $a_{r+1}$ sämtlich durch $l$ teilbar, so müßte $\eta _{1}^{\frac {a_{1}}{l}}\dots \eta _{r+1}^{\frac {a_{r+1}}{l}}$ eine $l$-te Einheitswurzel und demnach infolge der Voraussetzung $=1$ sein; hieraus ergibt sich durch Wiederholung des Verfahrens das Gesagte. Nehmen wir nun $\eta _{1}$, …, $\eta _{r+1}$ gleich den Relativnormen von ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{r+1}$, wo ${\mathsf {H}}_{1}$, …‚ ${\mathsf {H}}_{r+1}$ ein System von relativen Grundeinheiten in $K$ sind, und setzen dann ${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}_{1}^{a_{1}}\dots {\mathsf {H}}_{r+1}^{a_{r+1}}$, so folgt $N_{k}({\mathsf {H}})={\mathsf {H}}^{1+S+S^{2}+\dots +S^{t-1}}=1$ und daher nach dem Satz 90: ${\mathsf {H}}=A^{1-S}$; da ${\mathsf {H}}_{1}$, …‚ $H_{r+1}$ relative Grundeinheiten sind, so ist die Zahl $A$ keine Einheit.

Um den Satz 92 allgemein zu beweisen, werde angenommen, daß $k$ die primitive $l^{h}$-te Einheitswurzel $\zeta '$, aber nicht die primitive $l^{h+1}$-te Einheitswurzel enthielte. Durch ein ähnliches Verfahren, wie das oben angewandte, wird erkannt, daß, wenn $\eta _{1}$, …‚ $\eta _{r+2}$ irgendwelche $r+2$ Einheiten in $k$ sind, stets eine ganze rationale Zahl $a$ und ferner $r+2$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen $a_{1}$, …‚ $a_{r+2}$ von der Art gefunden werden können, daß

$\eta _{1}^{a_{1}}\dots \eta _{r+2}^{a_{r+2}}=\zeta '^{al}$

ist.

Andererseits bedenke man, daß die Relativnorm

$N_{k}(\zeta )=\zeta ^{1+S+S^{2}+\dots +S^{t-1}}=1$

wird und daher nach Satz 90 $\zeta$ eine $(1-S)$-te symbolische Potenz werden muß. Gäbe es nun keine Einheit ${\mathsf {E}}$ in $K$, so daß $\zeta ={\mathsf {E}}^{1-S}$ ist, so wäre bereits $\zeta$ eine Zahl von der gewünschten Beschaffenheit. Im anderen Falle folgt ${\mathsf {E}}^{l(1-S)}=1$, d. h. ${\mathsf {E}}^{l}=S{\mathsf {E}}^{l}$, und daher stellt ${\mathsf {E}}^{l}$ eine Einheit $\varepsilon$ in $k$ dar, während ${\mathsf {E}}$ selbst gewiß nicht in $k$ liegt. Wegen ${\mathsf {E}}={\sqrt[{l}]{\varepsilon }}$ ergibt sich $N_{k}({\mathsf {E}})=E^{l}=\varepsilon$. Es sei ${\mathsf {H}}_{1}$, …, $H_{r+1}$ ein System von relativen Grundeinheiten in $K$; wir setzen nun:

${\begin{aligned}\eta _{1}&=N_{k}({\mathsf {H}}_{1}),\ldots ,\eta _{r+1}=N_{k}({\mathsf {H}}_{r+1}),\eta _{r+2}=N_{k}({\mathsf {E}})={\mathsf {E}}^{l},\\{\mathsf {H}}&={\mathsf {H}}_{1}^{a_{1}}\dots {\mathsf {H}}_{r+1}^{a_{r+1}}{\mathsf {E}}^{a_{r+2}}\zeta '^{-a}={\mathsf {H}}_{1}^{a_{1}}\dots {\mathsf {H}}_{r+1}^{a_{r+1}}[\varepsilon ],\end{aligned}}$

wo $a$, $a_{1}$, …, $a_{r+2}$ die vorhin bestimmten Zahlen sind und $[\varepsilon ]$ die $l$-te Wurzel aus einer Einheit des Körpers $k$ bedeutet; dann wird $N_{k}({\mathsf {H}})=1$. Die Zahlen $a_{1}$, …, $a_{r+1}$ können nicht sämtlich durch $l$ teilbar sein. Denn aus

$\left(\eta _{1}^{\frac {a_{1}}{l}}\dots \eta _{r+1}^{\frac {a_{r+1}}{l}}{\mathsf {E}}^{a_{r+2}}\zeta '^{-a}\right)^{l}=1$

würde dann

$\eta _{1}^{\frac {a_{1}}{l}}\dots \eta _{r+1}^{\frac {a_{r+1}}{l}}{\mathsf {E}}^{a_{r+2}}\zeta '^{-a}=\zeta ^{b}$

folgen, wo $b$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Da $a_{r+2}$ bei unserer Annahme nicht auch durch $l$ teilbar sein darf, so würde aus der letzten Gleichung folgen, daß ${\mathsf {E}}$ in $k$ liegt, was nicht zutrifft. Die Einheit ${\mathsf {H}}$ erfüllt daher alle Bedingungen des Satzes 92.

Die Sätze 90, 91 und 92 sind zum Teil und in anderer Form bereits von Kummer für den Fall bewiesen worden, daß der Unterkörper $k$ der durch $\zeta$ bestimmte Kreiskörper $(l-1)$—ten Grades ist [Kummer (14^[2], 20^[3], 21^[4])].

§ 57. Die ambigen Ideale und die Relativdifferente des relativ-zyklischen Körpers $K$.

Wenn ein Ideal ${\mathfrak {A}}$ des relativ-zyklischen Körpers $K$ bei Anwendung der Substitution $S$ ungeändert bleibt und überdies keinen Faktor enthält, welcher ein Ideal in $k$ ist, so heißt ${\mathfrak {A}}$ ein ambiges Ideal. Insbesondere heißt ein Primideal des Körpers $K$, wenn dasselbe bei Anwendung der Substitution $S$ ungeändert bleibt und nicht zugleich im Körper $k$ liegt, ein ambiges Primideal.

Satz 93. Die Relativdifferente des relativ-zyklischen Körpers $K$ in bezug auf $k$ enthält alle und nur diejenigen Primideale ${\mathfrak {P}}$, welche ambig sind.

Beweis. Ist ${\mathfrak {P}}$ ein ambiges Ideal, so wird seine Relativnorm $N_{k}({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}^{l}$. Da nicht eine niedere Potenz von ${\mathfrak {P}}$ in $k$ liegen kann, so ist ${\mathfrak {P}}^{l}={\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $k$. Umgekehrt, wenn ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k$ gleich der $l$-ten Potenz eines Ideals ${\mathfrak {P}}$ in $K$ wird, so ist ${\mathfrak {P}}$ ein ambiges Primideal.

Wir unterscheiden nun dreierlei Arten von Primidealen ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$: erstens solche, die der $l$-ten Potenz eines Primideals ${\mathfrak {P}}$ in $K$ gleich sind; zweitens solche, die in $l$ voneinander verschiedene Primideale ${\mathfrak {P}}_{1}$, …, ${\mathfrak {P}}_{l}$, des Körpers $K$ zerfallen, und drittens solche, die auch in $K$ Primideale sind.

Liegt der erste Fall vor, so setzen wir die Norm $N({\mathfrak {P}})=p^{f}$; hieraus folgt $N({\mathfrak {p}})=N({\mathfrak {P}}^{l})=p^{lf}$, und mithin ist die Norm $n({\mathfrak {p}})$ des Primideals ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ ebenfalls gleich $p^{f}$. Die Gleichheit der Normen $N({\mathfrak {P}})$ und $n({\mathfrak {p}})$ läßt die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers $K$ einer gewissen ganzen Zahl des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent ist; aus diesem Umstande erkennt man leicht, daß die Relativdifferente von $K$ in bezug auf $k$ notwendig durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar ist.

Im zweiten Falle läßt sich in $K$ stets eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ finden, welche nicht durch ${\mathfrak {P}}_{i}$, wohl aber durch alle übrigen $l-1$ Primideale ${\mathfrak {P}}_{1}$, …, ${\mathfrak {P}}_{i-1}$, ${\mathfrak {P}}_{i+1}$, …, ${\mathfrak {P}}_{l}$, teilbar ist, und aus diesem Umstande folgt, daß die Relativdifferente der Zahl ${\mathsf {A}}$ und daher auch die des Körpers $K$ nicht durch ${\mathfrak {P}}_{i}$ teilbar ist.

Was endlich die Primideale ${\mathfrak {p}}$ der dritten Art angeht, so sei ${\mathsf {P}}$ eine Primitivzahl nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $K$ und $\varrho$ eine Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$ in $k$, und zugleich sei ${\mathsf {P}}$ eine den Körper $K$ bestimmende Zahl. Es genügt dann ${\mathsf {P}}$ einer Gleichung $l$-ten Grades von der Gestalt:

$F({\mathsf {P}})=P^{l}+\alpha _{1}{\mathsf {P}}^{l-1}+\dots +\alpha _{l}=0,$

deren Koeffizienten $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{l}$, ganze Zahlen in $k$ sind. Wir setzen

$\alpha _{1}\equiv f_{1}(\varrho ),\dots ,\alpha _{l}\equiv f_{l}(\varrho ),\qquad ({\mathfrak {p}}),$

wo $f_{1}(\varrho )$‚ …‚ $f_{l}(\varrho )$ ganzzahlige Funktionen von $\varrho$ sind, und erhalten so für ${\mathsf {P}}$ die Kongruenz:

$F({\mathsf {P}})\equiv P^{l}+f_{1}(\varrho ){\mathsf {P}}^{l-1}+\dots +f_{l}(\varrho )\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {p}}).$

Da wegen $N({\mathfrak {p}})=(n({\mathfrak {p}}))^{l}$ die Anzahl der in $K$ vorhandenen, nach ${\mathfrak {p}}$ inkongruenten ganzen Zahlen gleich der $l$-ten Potenz der Anzahl der in $k$ vorhandenen nach $p$ inkongruenten ganzen Zahlen ist, so kann ${\mathsf {P}}$ keiner Kongruenz niederen als $l$-ten Grades von der nämlichen Art genügen, und daher ist notwendig ${\frac {\partial F({\mathsf {P}})}{\partial P}}\not \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$; d. h. die Relativdifferente der Zahl ${\mathsf {P}}$ ist nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar. Durch diese Betrachtungen ist gezeigt, daß die Relativdifferente des Körpers $K$ stets prim zu den Primidealen der zweiten und dritten Art ist, und hieraus ergibt sich die Richtigkeit des Satzes 93.

§ 58. Der Fundamentalsatz von den relativ-zyklischen Körpern mit der Relativdifferente $1$. Die Bezeichnung dieser Körper als Klassenkörper.

Die Sätze 90, 92 und 93 ermöglichen uns die Erkenntnis einer Tatsache, welche für die Theorie der Zahlkörper von weittragender Bedeutung ist. Diese Tatsache ist folgende:

Satz 94. Wenn der relativ-zyklische Körper $K$ von ungeradem Primzahl-Relativgrade $l$ die Relativdifferente $1$ in bezug auf $k$ besitzt, so gibt es stets in $k$ ein Ideal ${\mathfrak {j}}$, welches nicht Hauptideal in $k$ ist, wohl aber ein Hauptideal in $K$ wird. Die $l$-te Potenz dieses Ideals ${\mathfrak {j}}$ ist dann notwendig auch in $k$ ein Hauptideal, und die Klassenanzahl des Körpers $k$ ist mithin durch $l$ teilbar.

Beweis. Nach Satz 92 gibt es eine Einheit ${\mathsf {H}}$ mit der Relativnorm $1$, welche nicht die $(1-S)$-te Potenz einer Einheit ist. Nach Satz 90 ist ${\mathsf {H}}={\mathsf {A}}^{1-S}$, wo ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in ${\mathsf {K}}$ bedeutet; d. h. es ist ${\mathsf {A}}={\mathsf {H}}\cdot S{\mathsf {A}}$. Für das Hauptideal ${\mathfrak {A}}=({\mathsf {A}})$ folgt hieraus ${\mathfrak {A}}=S{\mathfrak {A}}$. Das Ideal ${\mathfrak {A}}$ liegt im Körper $k$. Denn ist ${\mathfrak {P}}$ irgendein in ${\mathfrak {A}}$ aufgehendes Primideal des Körpers $K$, welches nicht in $k$ liegt, so ist nach Satz 93, da wegen der Voraussetzung die Relativdiskriminante keine Teiler besitzt, ${\mathfrak {P}}\not \equiv S{\mathfrak {P}}$, und folglich enthält ${\mathsf {A}}$ auch die Relativnorm $N_{k}({\mathfrak {P}})$, welche ein in $k$ liegendes Primideal ist. Das Ideal ${\mathsf {A}}$ ist kein Hauptideal im Körper $k$; denn in diesem Falle wäre ${\mathsf {A}}={\mathsf {H}}^{*}\alpha$, wo ${\mathsf {H}}^{*}$ eine Einheit und $\alpha$ eine Zahl in $k$ bedeutet; hieraus würde ${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}^{*1-S}$ folgen, was dem Obigen widerstreitet. Damit ist der erste Teil des Satzes 94 bewiesen.

Da $N_{k}({\mathsf {A}})=\alpha$ eine Zahl in $k$ und folglich $N_{k}({\mathfrak {A}})=({\mathfrak {A}})^{l}=(\alpha )$ ein Hauptideal in $k$ ist, so haben wir damit den vollständigen Beweis des Satzes 94 erbracht.

Die Sätze 92 und 94 gelten ebenfalls für $l=2$ unter der oben auf S. 152 am Schluß von § 55 angegebenen Beschränkung.

Es bietet keine erheblichen prinzipiellen Schwierigkeiten dar, den Satz 94 für solche relativ-Abelsche Körper $K$ mit der Relativdifferente $1$ zu verallgemeinern, deren Relativgrad $l$ eine zusammengesetzte Zahl ist.

Wegen der engen Beziehung, die nach Satz 94 der Körper $K$ zu gewissen Idealklassen des Körpers $k$ aufweist, werde $K$ ein Klassenkörper des Körpers $k$ genannt.

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1. De unitatibus complexis. Dissertatio inauguralis. Berolini 1845. Werke 1, 5 (1845).
2. Über eine besondere Art aus komplexen Einheiten gebildeter Ausdrücke. J. Math. 50 (1854).^{[WS 1]}
3. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 2]}
4. Zwei neue Beweise der allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1861.^{[WS 3]} Abgedruckt im J. Math. 100.^{[WS 4]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über eine besondere Art aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 50 (1854), S. 212–232 GDZ Göttingen
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
3. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1861, S. 81–122 Internet Archive
4. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1861 (1862), S. 81–122 Internet Archive. Abgedruckt in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100, (1887) S. 10–50 GDZ Göttingen

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