indem man die Substitutionen der einmal überstrichenen Verzweigungsgruppe
mit gewissen
Substitutionen
, …,
der Verzweigungsgruppe
multipliziert; dabei haben diese
Substitutionen die Besonderheit, daß für irgend zwei derselben
und
stets eine Relation von der Gestalt
besteht, wo
eine Substitution in
ist. Das Ideal
ist Primideal in
: es findet somit in
die Spaltung des Ideals
in
gleiche Primfaktoren statt; dabei ist der Exponent
eine Zahl, die den Grad
des Primideals
nicht überschreitet.
Beweis. Es sei
eine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl des Körpers
; wir bestimmen dann ein System von Substitutionen
, …,
der Verzweigungsgruppe von der Art, daß, wenn
|
|
gesetzt wird, die ganzen Zahlen
, …,
sämtlich einander nach
inkongruent sind und auch keine Substitution von
zu diesem Systeme
, …,
hinzugefügt werden kann, ohne der letzteren Forderung zu widersprechen. Wählen wir dann eine beliebige Substitution
der Verzweigungsgruppe
und setzen
nach
, so muß
einer der Zahlen
‚ …,
nach
kongruent sein; ist etwa
nach
, so folgt
nach
. Aus Satz 72 folgt, daß jede ganze Zahl
in
einem Ausdrucke
nach
kongruent ist, wo
,
, …‚
ganze Zahlen des Trägheitskörpers sind, und hieraus ergibt sich für
die Kongruenz
nach
, d. h. es ist
oder
. Diese Gleichung beweist die im Satze 75 behauptete Struktur der Gruppe
.
Wir setzen
und
.
Es ist nunmehr ersichtlich, in welcher Weise das eingeschlagene Verfahren fortzusetzen ist. Bedeutet
den höchsten Exponenten von der Art, daß für jede Substitution
die sämtlichen Zahlen des Körpers
der Kongruenz
nach
genügen, so bestimmen wir alle die Substitutionen
, für welche beständig
nach
wird. Dieselben bilden eine invariante Untergruppe
der Gruppe
: die zweimal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals
; ihr Grad sei
; wir setzen
. Es wird
, wo
ein Primideal des zu
gehörigen Körpers
ist.
So fortfahrend, gelangen wir zur dreimal überstrichenen Verzweigungsgruppe
usw. Ist etwa die
-mal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals
diejenige, welche lediglich aus der Substitution
besteht, so ist der
-mal überstrichene Verzweigungskörper des Primideals
der Körper
selbst und die Struktur der Verzweigungsgruppe
ist dann genau bekannt. Es leuchtet ein, daß für das Primideal
überstrichene Verzweigungskörper nur dann vorhanden sein können, wenn der Grad
des Körpers
durch
teilbar ist.