§ 45.
Kurze Zusammenfassung der Sätze über die Zerlegung einer rationalen Primzahl
im Galoisschen Körper.
Durch die in § 39-44 entwickelten Sätze erlangen wir einen vollständigen Einblick in die bei der Zerlegung einer rationalen Primzahl
in einem Galoisschen Körper sich abspielenden Vorgänge:
Es handle sich um einen bestimmten Primfaktor
von
, so wird
zunächst im Zerlegungskörper von
in der Form
zerlegt, wo
ein Primideal ersten Grades und
ein durch
nicht teilbares Ideal des Zerlegungskörpers ist. Der Zerlegungskörper von
ist als Unterkörper in dem Trägheitskörper von
enthalten, welcher seinerseits keine weitere Zerlegung von
bewirkt, sondern lediglich dieses Ideal
zu einem Primideal
-ten Grades erweitert. Ist der Körper
selbst der Zerlegungskörper oder der Trägheitskörper, so ist nach diesem ersten Schritte die Zerlegung bereits abgeschlossen. Im anderen Falle läßt sich
für
noch in gleiche Faktoren spalten, und zwar wird
zunächst im Verzweigungskörper die Potenz eines Primideals
, wobei der Exponent in
aufgeht und folglich nicht durch
teilbar ist. Die Spaltung von
ist mit diesem zweiten Schritte notwendig dann und nur dann abgeschlossen, wenn
im Grade der Trägheitsgruppe nicht aufgeht und mithin der Körper
selbst der Verzweigungskörper ist. In den nun folgenden überstrichenen Verzweigungskörpern schreitet die Spaltung ohne Aussetzen fort, und zwar sind die bezüglichen Potenzexponenten Zahlen von der Gestalt
,
, …, wo keiner der Exponenten
,
, … den Grad
des Primideals
überschreitet.
Die Übersicht über die entwickelten Resultate wird durch die folgende Tabelle erleichtert, in deren Zeilen der Reihe nach die betreffenden Körper, die
![{\displaystyle k_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8fad407df5995ada49dea20bffa5c66d8ba7e4) |
![{\displaystyle k_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352386366dcb1dcc184d82669513975561f2d2ae) |
![{\displaystyle k_{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd310d5aacb0fe1c1a54398d3a6ca4a72ae4743f) |
![{\displaystyle k_{\bar {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445b9dd3a68dd8e8e1adec8014e4cc03b76cec18) |
![{\displaystyle k_{\bar {\bar {v}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0751ec4c6fec5a380c5cbed788bb7be2e1dbcde4) |
|
![{\displaystyle r_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07006192648caeccd5ad603f234b1f11e2e40b9) |
![{\displaystyle r_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb555a4a6332d0b3c8f786c87eccda2e940936d5) |
![{\displaystyle r_{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6351a9c12f3cd743f37050ddb9a0d0adfc33f190) |
![{\displaystyle r_{\bar {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc61f5fe4200fcd7fb4f0b30a8296414c2f0536) |
![{\displaystyle r_{\bar {\bar {v}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674cb0302dfc4e4d45c4d8aa6bd04f5443b55682) |
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![{\displaystyle m_{z}={\frac {M}{r_{z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837311f67a06922c9cea7e1a7e623318591bf548) |
![{\displaystyle m_{t}={\frac {M}{r_{t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/030fbeebdfab0a9f4b7c2280f54809555ea6d2d7) |
![{\displaystyle m_{v}={\frac {M}{r_{v}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7873ea5152dafa0ce65e61ccaad1fdf39d6f0761) |
![{\displaystyle m_{\bar {v}}={\frac {M}{r_{\bar {v}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a694a7ffee7f1858527341bfeac7228c0273952) |
![{\displaystyle m_{\bar {\bar {v}}}={\frac {M}{r_{\bar {\bar {v}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137641c46bd8aa853665eef088a5a9f9731033b8) |
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![{\displaystyle f={\frac {r_{z}}{r_{t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a1877b4f3e5e32dc74f0c069e561d360105ff2) |
![{\displaystyle h={\frac {r_{t}}{r_{v}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6519fc17d2a9a0625a5cf4555e38f2e358a048) |
![{\displaystyle p^{\bar {e}}={\frac {r_{v}}{r_{\bar {v}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d7396ff4aa9d29a2a286fc7d3577d21fe63e9b) |
![{\displaystyle p^{\bar {\bar {e}}}={\frac {r_{\bar {v}}}{r_{\bar {\bar {v}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262d6fe7ee1c503032cc871540e6a5f7b1f6f15e) |
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Grade der zugehörigen Gruppen, die Grade der Körper, ihre Relativgrade in bezug auf den nächst niederen Körper, dann die Primideale der Körper und