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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

verstanden; die Zahl $\pi$ liegt im Körper $k_{v}$ und die Zahl $\varkappa$ im Körper $k_{t}$. Um letzteres zu beweisen, bedenke man, daß die Zahl $\varkappa$ bei Anwendung der Substitution $t$ ungeändert bleibt, weil $t^{h}$ zu $g_{v}$, gehört, und daß die Zahlen $\pi$, $t\pi$, $t^{2}\pi$, …, $t^{h-1}\pi$ bei Anwendung einer Substitution aus $g_{v}$ ungeändert bleiben. Diese Zahlen $\pi$ und $\varkappa$ sind, wie man leicht einsieht, beide nach dem Primideal ${\mathfrak {P}}$ der Primitivzahl ${\mathsf {P}}$ kongruent. Da es folglich im Körper $k_{t}$ genau $p^{f}$ nach ${\mathfrak {P}}$ inkongruente Zahlen gibt, so ist notwendigerweise ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{r_{t}}$ im Körper $k_{t}$ unzerlegbar und wird in demselben ein Primideal $f$-ten Grades.

§ 43. Sätze über die Verzweigungsgruppe und den Verzweigungskörper.

Es ist nun leicht, die charakteristische Eigenschaft der Verzweigungsgruppe zu erkennen; dieselbe ist folgende:

Satz 73. Zur Verzweigungsgruppe $g_{v}$ gehören alle und nur solche Substitutionen $s$, bei deren Anwendung für sämtliche ganze Zahlen $\Omega$ des Körpers $K$ die Kongruenz $s\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ besteht.

Beweis. Es sei die beliebige Zahl $\Omega$ in $K$ der Zahl $\omega$ des Trägheitskörpers nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent, und dementsprechend werde $\Omega -\omega \equiv {\mathsf {BA}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ gesetzt, wo ${\mathsf {A}}$ die Bedeutung wie in § 41 hat und ${\mathsf {B}}$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ ist. Durch die Anwendung einer Substitution $v$ des Verzweigungskörpers ergibt sich $v\Omega -\omega \equiv v({\mathsf {BA}})\equiv {\mathsf {BA}}\equiv \Omega -\omega$‚ d. h. $v\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$.

Zugleich erkennen wir leicht den folgenden weiteren Satz über den Verzweigungskörper:

Satz 74. Das Ideal ${\mathfrak {p}}_{v}={\mathfrak {P}}^{r_{v}}$ liegt im Verzweigungskörper und ist in demselben ein Primideal $f$-ten Grades: es findet somit im Verzweigungskörper die Spaltung des Ideals ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{v}^{h}$ in $h$ gleiche Primfaktoren statt.

§ 44. Die überstrichenen Verzweigungskörper eines Primideals ${\mathfrak {P}}$.

Unsere nächste Aufgabe besteht darin, weiter die Spaltung des Ideals ${\mathfrak {p}}_{v}$ in gleiche Faktoren zu verfolgen. Zu dem Zweck nehmen wir an, es sei $L$ der höchste Exponent von der Art, daß für eine jede Substitution $v$ der Verzweigungsgruppe die sämtlichen ganzen Zahlen des Körpers $K$ der Kongruenz $v\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{L}$ genügen, und bestimmen dann alle Substitutionen $s$ der Verzweigungsgruppe, für welche $s\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$ wird; dieselben bilden eine Untergruppe $g_{\bar {v}}$ der Verzweigungsgruppe, die wir die einmal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ nennen. Der zu $g_{\bar {v}}$ gehörige Körper $k_{\bar {v}}$ heiße der einmal überstrichene Verzweigungskörper des Primideals. Die wichtigsten Eigenschaften dieses Körpers sind folgende:

Satz 75. Die einmal überstrichene Verzweigungsgmppe $g_{\bar {v}}$ ist eine invariante Untergruppe der Verzweigungsgruppe $g_{v}$. Der Grad von $g_{\bar {v}}$ sei $r_{\bar {r}}=p^{\bar {l}}$. Man erhält alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ und jede nur einmal,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 136. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/153&oldid=- (Version vom 31.7.2018)