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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/140

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Zahlkörper gegründet [Dedekind (6[1])]. Die hauptsächlichsten Resultate von Dedekind fassen wir in folgenden Satz zusammen:

Satz 63. Der größte gemeinsame Teiler der Differenten aller ganzen Zahlen des Körpers ist gleich der Differente des Körpers. Ist die Differente einer ganzen Zahl , welche den Körper bestimmt, und der Führer des durch bestimmten Zahlringes, so ist .

Beweis. Es sei , …‚ eine Körperbasis von , und es seien bezüglich , …‚ , …, , …‚ die zu diesen Zahlen konjugierten Zahlen. Wir bilden die -reihige Determinante der Zahlen :

und bezeichnen die zu , …‚ adjungierten -reihigen Unterdeterminanten von bezüglich mit , …, . Die Produkte , …, sind dann ganze Zahlen des Körpers , und zwar bilden dieselben die Basiszahlen eines Ideals des Körpers .

Um das letztere zu beweisen, multiplizieren wir die Horizontalreihen der Determinante bezüglich mit

, , …, , (16)

wo ein unbestimmter Parameter ist. Die entstehende -reihige Determinante erhält dann, wie leicht ersichtlich, die Gestalt:

,

wo , …, ganzzahlige Funktionen von sind. Andererseits hat das Produkt der Linearfaktoren (16) die Form

,

wo eine ganze rationale Zahl bedeutet. Die Vergleichung der Koeffizienten von liefert das Resultat, daß eine lineare Kombination von ,…‚ mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten ist; hiermit ist der gewünschte Nachweis dafür geführt, daß , …, Basiszahlen eines Ideals sind.

Bezeichnen wir allgemein mit die zu adjungierte -reihige Unterdeterminante der Determinante , so wird nach einem bekannten Determinantensatze die -reihige Determinante ; folglich genügt die Norm des Ideals der Gleichung

,

und hieraus folgt . Nun ist offenbar die Diskriminante des Körpers durch teilbar; setzen wir so folgt .

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 123. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/140&oldid=- (Version vom 18.8.2016)
  1. [356] Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.