Zahlkörper gegründet [Dedekind (6[1])]. Die hauptsächlichsten Resultate von Dedekind fassen wir in folgenden Satz zusammen:
Satz 63. Der größte gemeinsame Teiler der Differenten aller ganzen Zahlen des Körpers
ist gleich der Differente
des Körpers. Ist
die Differente einer ganzen Zahl
, welche den Körper
bestimmt, und
der Führer des
durch
bestimmten Zahlringes, so ist
.
Beweis. Es sei
, …‚
eine Körperbasis von
, und es seien bezüglich
, …‚
, …,
, …‚
die zu diesen
Zahlen konjugierten Zahlen. Wir bilden die
-reihige Determinante der
Zahlen
:
|
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und bezeichnen die zu
, …‚
adjungierten
-reihigen Unterdeterminanten von
bezüglich mit
, …,
. Die
Produkte
, …,
sind dann ganze Zahlen des Körpers
, und zwar bilden dieselben die Basiszahlen
eines Ideals des Körpers
.
Um das letztere zu beweisen, multiplizieren wir die
Horizontalreihen der Determinante
bezüglich mit
, , …, ,
|
(16)
|
wo
ein unbestimmter Parameter ist. Die entstehende
-reihige Determinante erhält dann, wie leicht ersichtlich, die Gestalt:
,
|
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wo
, …,
ganzzahlige Funktionen von
sind. Andererseits hat das Produkt der
Linearfaktoren (16) die Form
,
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wo
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Die Vergleichung der Koeffizienten von
liefert das Resultat, daß
eine lineare Kombination von
,…‚
mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten ist; hiermit ist der
gewünschte Nachweis dafür geführt, daß
, …,
Basiszahlen eines
Ideals sind.
Bezeichnen wir allgemein mit
die zu
adjungierte
-reihige
Unterdeterminante der Determinante
, so wird nach einem bekannten Determinantensatze die
-reihige Determinante
; folglich genügt die Norm des Ideals
der Gleichung
,
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und hieraus folgt
. Nun ist offenbar die Diskriminante
des Körpers durch
teilbar; setzen wir
so folgt
.
- ↑ [356] Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.