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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/139

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ganze Zahlen , …‚ von der Art, daß eine jede Zahl des Ringideals gleich einer linearen Kombination derselben von der Gestalt ist, wo , …, ganze rationale Zahlen bedeuten. Die Zahlen , …, heißen eine Basis des Ringideals. Der Beweis für die Existenz einer Basis des Ringes und des Ringideals ist genau entsprechend den in § 3 und § 4 dargelegten Beweisen für die Existenz der Körperbasis und Idealbasis zu führen. Es gelten folgende Sätze: [Dedekind (3[1])].

Satz 60. Sind , …, irgend ganze Zahlen des Körpers , zwischen denen keine lineare Relation mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten besteht, so gibt es stets einen Ring , in welchem, wenn eine geeignet gewählte ganze rationale Zahl bedeutet, die Produkte , …‚ die Basis eines Ringideals bilden. Zum Beweise dieses Satzes 60 vergleiche den Beweis zu Satz 61.

Beweis. Es sei eine beliebige ganze Zahl des Körpers, für welche die Zahlen ‚ …‚ sämtlich gleich linearen Kombinationen der Zahlen , …, von der Gestalt werden, wo , …, ganze rationale Zahlen sind. Die Gesamtheit aller dieser ganzen Zahlen des Körpers bestimmt, wie leicht einzusehen, einen Ring von der verlangten Beschaffenheit.

Sind , …, irgend Zahlen in , durch deren lineare Kombination unter Benutzung ganzer algebraischer, in liegender Koeffizienten alle Zahlen eines Ringideals erhalten werden können, so setzen wir kurz . Insbesondere ist .

Satz 61. Es gibt in jedem Ringe stets Ringideale , welche zugleich Körperideale sind.

Beweis. Drückt man , …, durch die Zahlen , …‚ der Basis des Ringes aus, in der Gestalt

wo , …, , ganze rationale Zahlen sind, so folgt, daß jede durch teilbare ganze Zahl in eine Zahl des Ringes und mithin jedes durch teilbare Ideal des Körpers zugleich ein Ringideal des Ringes ist.

Der größte gemeinsame Idealteiler aller derjenigen Körperideale, welche zugleich Ringdeale in sind, heißt der Führer des Ringes . [Dedekind (3[1])]. Es folgt dann leicht der Satz:

Satz 62. Jedes durch den Führer teilbare Ideal des Körpers ist zugleich ein Ringideal des Ringes .

§ 32. Die durch eine ganze Zahl bestimmten Ringe. Der Satz von der Differente einer ganzen Zahl des Körpers.

Die wichtigsten Zahlringe des Körpers sind diejenigen, welche durch eine

einzige ganze Zahl bestimmt werden. Auf die Eigenschaften dieser besonderen Zahlringe hat Dedekind seine Theorie der Diskriminanten algebraischer


  1. a b [356] Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 122. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/139&oldid=- (Version vom 31.7.2018)