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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/135

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§ 28. Die Zusammensetzung der Idealklassen eines Körpers.

Betreffs der multiplikativen Darstellung der Idealklassen gilt der folgende wichtige Satz (Schering (1[1]), Kronecker (11[2])]:

Satz 57. Es gibt stets Klassen , …, , so daß jede andere Klasse auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt darstellbar ist; dabei durchlaufen , …, , die ganzen Zahlen , , , … bez. bis , …, , und es ist , …, und .

Beweis. Man bilde für jede Klasse den niedrigsten Exponenten derart, daß wird. Der größte aller dieser Exponenten werde mit bezeichnet, und es sei eine hierbei auf führende Klasse. Nun bestimme man für jede Klasse den niedrigsten Exponenten derart, daß gleich einer Potenz von wird. Der höchste dieser Exponenten , werde mit bezeichnet, und sei eine auf führende Klasse. Ferner bestimme man für jede Klasse den niedrigsten Exponenten derart, daß gleich einem Produkt von Potenzen der Klassen , wird; es sei der höchste dieser Exponenten und eine auf führende Klasse. Fährt man so fort, so entsteht eine Reihe von Klassen , , …, , denen, wie man unmittelbar sieht, die Eigenschaft zukommt, daß eine jede Klasse auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt dargestellt werden kann, wo , …, , die im Satze 57 angegebenen Werte annehmen.

Es sei nun

(15)

wo ist und , ‚ …‚ gewisse ganzzahlige Exponenten bedeuten. Aus den gemachten Festsetzungen folgt , wo , …, gewisse ganze Zahlen sind; es muß durch teilbar sein, da im anderen Falle bereits eine niedere als die -te Potenz von als Produkt der Klassen , , …, darstellbar sein würde. Wird gesetzt, so folgt, daß durch ein Produkt der Klassen , …, darstellbar ist; es ist daher notwendig durch , d. h. , durch teilbar. Setzen wir und wählen an Stelle der Klasse , die Klasse , so geht die Gleichung (15) über in die einfachere Gleichung . Die Fortsetzung dieses Verfahrens führt schließlich zu einer Klasse , an Stelle von , für welche die gewünschte Relation stattfindet.

Die obige Darstellung der Klassen kann überdies so eingerichtet werden, daß die Zahlen , …, , Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind. Wäre nämlich eine der Zahlen , …, , welche noch nicht Primzahl oder Primzahlpotenz ist, und wäre etwa …, wo , , … Potenzen verschiedener Primzahlen sind, so setze man, wenn die zu gehörige Klasse bezeichnet, , , …. Wir haben dann , , …, und wenn


  1. [360] Zahlentheoretische Bemerkung. Auszug aus einem Brief an Herrn Kronecker. J. Math. 100 (1887).[WS 1]
  2. [359] Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenanzahl idealer komplexer Zahlen. Werke 1, 271 (1870).

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Schering, Ernst Christian Julius: Zahlentheoretische Bemerkung. Auszug aus einem Brief an Herrn Kronecker vom 14. Mai 1863)., in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100 (1887), S. 447–448 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 118. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/135&oldid=- (Version vom 31.7.2018)