beliebig hohen Grenze
gelegen sind. Zunächst folgt aus der Konvergenz der Reihe
mit Hilfe der Ungleichung
die Konvergenz der Reihe
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für
, wo
alle ganzen positiven Zahlen und
alle Ideale des Körpers
durchläuft. Ferner ergibt sich aus den Ungleichungen (14) die Formel:
,
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wo die Summen sich über alle ganzzahligen Werte von
zu erstrecken haben, welche
sind. Man kann zur Grenze
übergehen und findet:
.
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Nun ist
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ebenfalls
und
und also, da hierin
eine beliebig kleine Größe bedeutet,
, womit der gewünschte Nachweis des Satzes 56 erbracht ist.
§ 27.
Andere unendliche Entwicklungen der Funktion
.
Die Funktion
kann noch auf drei andere Arten durch unendliche Entwicklungen dargestellt werden [Dededkind (1[1])]. Es ist, wie leicht ersichtlich:
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hier ist im ersten Ausdruck die Summe über alle ganzen rationalen positiven Werte von
, im zweiten Ausdruck ist das Produkt über alle Primideale
des Körpers
, und im dritten Ausdruck ist das Produkt über alle rationalen Primzahlen zu erstrecken, wobei
,
, …,
die Gerade der
in
aufgehenden Primideale bedeuten. Alle diese unendlichen Summen und Produkte für
konvergieren für
, da die Glieder sämtlich positiv sind, in einer von der Reihenfolge der Summanden oder Faktoren unabhängigen Weise.
- ↑ [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]
Anmerkungen (Wikisource)