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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/134

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beliebig hohen Grenze gelegen sind. Zunächst folgt aus der Konvergenz der Reihe mit Hilfe der Ungleichung die Konvergenz der Reihe

für , wo alle ganzen positiven Zahlen und alle Ideale des Körpers durchläuft. Ferner ergibt sich aus den Ungleichungen (14) die Formel:

,

wo die Summen sich über alle ganzzahligen Werte von zu erstrecken haben, welche sind. Man kann zur Grenze übergehen und findet:

.

Nun ist

ebenfalls und und also, da hierin eine beliebig kleine Größe bedeutet, , womit der gewünschte Nachweis des Satzes 56 erbracht ist.

§ 27. Andere unendliche Entwicklungen der Funktion .

Die Funktion kann noch auf drei andere Arten durch unendliche Entwicklungen dargestellt werden [Dededkind (1[1])]. Es ist, wie leicht ersichtlich:

hier ist im ersten Ausdruck die Summe über alle ganzen rationalen positiven Werte von , im zweiten Ausdruck ist das Produkt über alle Primideale des Körpers , und im dritten Ausdruck ist das Produkt über alle rationalen Primzahlen zu erstrecken, wobei , , …, die Gerade der in aufgehenden Primideale bedeuten. Alle diese unendlichen Summen und Produkte für konvergieren für , da die Glieder sämtlich positiv sind, in einer von der Reihenfolge der Summanden oder Faktoren unabhängigen Weise.


  1. [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive