§ 20. Beweis des Satzes von der Existenz der Einheiten.
Um nunmehr den Satz 47 zu beweisen, wählen wir dem Hilfssatz 9 gemäß
in
eine Einheit
, für welche
ausfällt, dann eine Einheit
, für
welche die Determinante
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ferner eine Einheit
, für welche die Determinante
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ausfällt usf.; man gelangt so zu einem System von Einheiten
, …,
,
für welche schließlich die Determinante
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ist. Infolgedessen lassen sich, wenn
eine beliebige Einheit im Körper ist,
die
ersten Logarithmen zu
stets in die Gestalt
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bringen, wo
, …,
reelle Größen bedeuten. Diese Darstellung wiederum
zeigt, daß
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gesetzt werden kann, wo
, …‚
die numerisch größten ganzen rationalen,
bezüglich in
, …,
enthaltenen Zahlen bedeuten. Die Zahlen
, …‚
sind nun ebenfalls von der Gestalt
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Da hierin
, …,
reelle Größen
und
bedeuten, so liegen die Werte
, …‚
, absolut genommen, sämtlich unterhalb einer Grenze
, welche
nicht von
abhängig ist, d. h. die sämtlichen
ersten Logarithmen zur Einheit
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liegen absolut unterhalb der Grenze
. Wegen