Dem Satz 42 zufolge gibt es daher im Körper
eine von
verschiedene Zahl
derart, daß
, …,
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(10)
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und folglich zugleich
wird. Wegen
ist für alle Werte
,
‚ …,
:
;
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wenn wir daher die Ungleichungen
, …, ,
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berücksichtigen, so folgt
.
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(11)
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Aus den beiden Ungleichungen (10) und (11) ergibt sich, wenn der reelle Wert
von
mit
bezeichnet wird,
oder
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( , , … ),
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woraus zu ersehen ist, daß der Ausdruck
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zwischen gewissen endlichen Grenzen
und
liegt, welche nur von
und
, …‚
, dagegen nicht von dem Wert des Parameters
abhängig
sind.
Es werde nun eine Größe
bestimmt; bringt man dann für
der Reihe nach die Werte
,
,
‚
, … in Anwendung, so wird man
durch das beschriebene Verfahren eine unendliche Reihe von Zahlen
,
,
, …
erhalten, deren Normen, absolut genommen, sämtlich
sind, und für
welche außerdem die Bedingungen
erfüllt sind.
Da in den ganzen rationalen Zahlen; deren absolute Beträge
sind, nur
eine endliche Anzahl untereinander verschiedener Ideale als Faktoren aufgehen, so kann in der unendlichen Reihe der Hauptideale
,
,
, … nur
eine endliche Anzahl verschiedener Ideale vorkommen, und es werden daher
unendlich viele Male zwei dieser Ideale einander gleich. Ist etwa
,
so stellt
eine Einheit dar, welche wegen
die
Bedingung unseres Hilfssatzes 9 erfüllt.