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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

liegt daher der absolute Wert von $l_{r+1}\left({\overline {\mathsf {H}}}\right)$ unterhalb der Grenze $r\varkappa$, und mithin bestehen die Ungleichungen

$\left|{\overline {\mathsf {H}}}^{(1)}\right|<\mathrm {e} ^{\varkappa }$, …, $\left|{\overline {\mathsf {H}}}^{(r)}\right|<\mathrm {e} ^{\varkappa }$, $\left|{\overline {\mathsf {H}}}^{(r+1)}\right|<\mathrm {e} ^{r\varkappa }$,

d. h. sämtliche konjugierten Werte der Einheit ${\overline {\mathsf {H}}}$ sind absolut kleiner als die Größe $\mathrm {e} ^{r\varkappa }$.

Nach Satz 43 kann nur eine endliche Anzahl solcher Einheiten existieren. Bezeichnen wir dieselben mit ${\mathsf {H}}_{1}$, …‚ ${\mathsf {H}}_{G}$, so folgt ${\overline {\mathsf {H}}}={\mathsf {H}}_{S}$ oder ${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}_{S}\eta _{1}^{m_{1}}\cdots \eta _{r}^{m_{r}}$, wo $S$ einen der Werte $1$, $2$, …, $G$ hat. Ist ${\mathsf {H}}_{T}$ eine beliebige jener $G$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{G}$, und bildet man die ersten $G+1$ Potenzen von ${\mathsf {H}}_{T}$, so werden nach dem eben Bewiesenen zwei geeignete von diesen Potenzen sich in der Gestalt ${\mathsf {H}}_{S}\eta _{1}^{m'_{1}}\cdots \eta _{r}^{m'_{r}}$ bezüglich ${\mathsf {H}}_{S}\eta _{1}^{m''_{1}}\cdots \eta _{r}^{m''_{r}}$ darstellen, wo ${\mathsf {H}}_{S}$ beidemal die gleiche jener $G$ Einheiten bezeichnet; ihr Quotient besitzt mithin eine Darstellung von der Gestalt $\eta _{1}^{m_{1}}\cdots \eta _{r}^{m_{r}}$. Hiermit ist bewiesen, daß für jede Einheit ${\mathsf {H}}_{T}$ ein Exponent $M_{T}$ existiert derart, daß ${\mathsf {H}}_{T}^{M_{T}}$ ein Produkt von Potenzen der Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{r}$ ist. Bezeichnen wir das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller $G$ Exponenten $M_{1}$, …‚ $M_{G}$ mit $M$, so hat dieser Exponent $M$ für alle $G$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …‚ ${\mathsf {H}}_{G}$ zugleich jene Eigenschaft, und hieraus folgt, daß die $r$ ersten Logarithmen zu einer jeden beliebigen Einheit ${\mathsf {H}}$ des Körpers $k$ die Darstellung

$\left.{\begin{aligned}l_{1}({\mathsf {H}})&={\frac {m_{1}l_{1}(\eta _{1})+\cdots +m_{r}l_{1}(\eta _{r})}{M}},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots \\l_{r}({\mathsf {H}})&={\frac {m_{1}l_{r}(\eta _{1})+\cdots +m_{r}l_{r}(\eta _{r})}{M}}\end{aligned}}\right\}$

(12)

gestatten, wo $m_{1}$, …, $m_{r}$ ganze rationale Zahlen sind.

Nunmehr wenden wir auf dieses unendliche System (12) der Logarithmen aller Einheiten die nämliche Schlußweise an, wie sie in Satz 5 (§3) zum Beweise der Existenz einer Körperbasis auseinandergesetzt worden ist; dann folgt, daß es ein System von $r$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ gibt, durch deren zugehörige Logarithmen die Logarithmen zu jeder beliebigen Einheit ${\mathsf {H}}$ des Körpers sich in der Gestalt

${\begin{aligned}l_{1}({\mathsf {H}})&=a_{1}l_{1}(\varepsilon _{1})+\cdots +a_{r}l_{1}(\varepsilon _{r}),\\&\qquad \qquad \qquad \vdots \\l_{r}({\mathsf {H}})&=a_{1}l_{r}(\varepsilon _{1})+\cdots +a_{r}l_{r}(\varepsilon _{r})\end{aligned}}$

(12)

ausdrücken lassen, wo $a_{1}$, …, $a_{r}$ ganze rationale Zahlen sind. Dieses System von Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ genügt den Bedingungen des Satzes 47.

In der Tat: ist ${\mathsf {H}}$ eine beliebige Einheit, deren zugehörige Logarithmen obige Gestalt besitzen, so ist $\varrho ={\frac {\mathsf {H}}{\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r}^{a_{r}}}}$ eine Einheit, deren zugehörige Logarithmen offenbar sämtlich $=0$ sind. Eine solche Einheit $\varrho$ ist notwendig eine Einheitswurzel. Denn nach dem vorhin Bewiesenen ist $\varrho ^{M}=\eta _{1}^{m_{1}}\cdots \eta _{r}^{m_{r}}$,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 107. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/124&oldid=- (Version vom 29.9.2019)