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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/107

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die Diskriminante der Fundamentalgleichung und die Körperdiskriminante bedeutet.

Durch Auflösung der Gleichungen (2) ergibt sich ferner die folgende Tatsache:

Satz 36. Jede ganze Zahl des Körpers ist gleich einer ganzen rationalen Funktion -ten Grades der Fundamentalform , und zwar sind die Koeffizienten dieser Funktion ganzzahlige Funktionen von , …, , dividiert durch die rationale Einheitsform [Kronecker (16[1]), Hensel (4[2])].

§ 12. Die Elemente und die Differente des Körpers. Beweis des Satzes über die Teiler der Körperdiskriminante.

Der Satz 35 gestattet die Zerlegung der Körperdiskriminante in gewisse ideale Faktoren. Die Ideale

nenne ich die Elemente des Körpers . Dieselben sind Ideale, welche im allgemeinen dem Zahlkörper nicht angehören; dagegen ist das Produkt ein Ideal[3] des Körpers . Bedenken wir nämlich, daß die Elemente , …‚ bez. die Inhalte der Formen , …‚ sind, so erkennen wir nach Satz 13, daß das Ideal den Inhalt von der Differente der Fundamentalform, nämlich von

bildet, und diese ist eine Form des Körpers . Das Ideal nenne ich die Differente[4] des Körpers. Die Norm derselben ist gleich dem größten Zahlenfaktor der Diskriminante der Fundamentalform, und, da dieser nach Satz 35 gleich ist, so folgt der Satz:

Satz 37. Die Norm der Differente des Körpers ist gleich der Diskriminante des Körpers.

Aus der Kongruenz

,     

folgt ferner, daß die Differente des Körpers stets durch teilbar ist, und daß sie jedenfalls dann keine höhere Potenz von enthält, sobald der Exponent zu prim ist. Durch Übergang zur Norm ergibt sich hieraus, daß die


  1. [359] Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).[WS 1]
  2. [358] Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Teiler ihrer Diskriminante. J. Math. 113 (1894).[WS 2]
  3. Siehe Seite 93 Zeile 3 v. u. ff.
  4. Nach Dedekind „das Grundideal“.

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
  2. Hensel, Kurt: Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Theiler ihrer Discriminante, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 61–83 GDZ Göttingen