wo
eine ganzzahlige Funktion bezeichnet. Da
,
, … bezüglich von den
Graden
,
, … in
sind, so folgt, daß
mindestens vom
-ten Grade in
sein muß, und dieser Umstand liefert, wenn man an Stelle von
die linke Seite
der Fundamentalgleichung wählt, den ersten Teil des Satzes 33 und den
Satz 34.
Wäre endlich
nach
etwa durch
teilbar, so würde die Fundamentalform
, für
eingesetzt, der Kongruenz
nach
und folglich
auch der Kongruenz
nach
genügen müssen, was
nach Hilfssatz 5 nicht möglich ist. Damit ist auch der zweite Teil des Satzes 33
bewiesen.
Die gefundenen Tatsachen bedingen eine Reihe von wichtigen Diskriminantensätzen:
Satz 35. Der größte Zahlenfaktor der Diskriminante der Fundamentalgleichung ist gleich der Diskriminante des Körpers.
Beweis: Wir setzen
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(2)
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wo
, …‚
ganzzahlige Funktionen von
, …‚
seien. Wäre nun
die Determinante
dieser
Funktionen eine solche Funktion, deren sämtliche Koeffizienten etwa durch die rationale Primzahl
teilbar sind, so gäbe
es offenbar
nicht sämtlich dem Werte
nach
kongruente ganzzahlige
Funktionen
, …‚
von
, …‚
der Art, daß identisch in
, …,
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wird. Mithin müßte die Fundamentalform
der Kongruenz
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genügen, welche von niederem als
-tem Grade ist. Da dies nach Satz 34
nicht statthaben kann, so folgt, daß die Determinante
eine rationale Einheitsform ist.
Die Gleichungen (2) ergeben mit Hilfe des Multiplikationssatzes der Determinanten:
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Durch Quadrieren dieser Beziehung folgt
oder
, wo