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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/106

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wo eine ganzzahlige Funktion bezeichnet. Da , , … bezüglich von den Graden , , … in sind, so folgt, daß mindestens vom -ten Grade in sein muß, und dieser Umstand liefert, wenn man an Stelle von die linke Seite der Fundamentalgleichung wählt, den ersten Teil des Satzes 33 und den Satz 34.

Wäre endlich nach etwa durch teilbar, so würde die Fundamentalform , für eingesetzt, der Kongruenz nach und folglich auch der Kongruenz nach genügen müssen, was nach Hilfssatz 5 nicht möglich ist. Damit ist auch der zweite Teil des Satzes 33 bewiesen.

Die gefundenen Tatsachen bedingen eine Reihe von wichtigen Diskriminantensätzen:

Satz 35. Der größte Zahlenfaktor der Diskriminante der Fundamentalgleichung ist gleich der Diskriminante des Körpers.

Beweis: Wir setzen

(2)

wo , …‚ ganzzahlige Funktionen von , …‚ seien. Wäre nun die Determinante dieser Funktionen eine solche Funktion, deren sämtliche Koeffizienten etwa durch die rationale Primzahl teilbar sind, so gäbe es offenbar nicht sämtlich dem Werte nach kongruente ganzzahlige Funktionen , …‚ von , …‚ der Art, daß identisch in , …,

wird. Mithin müßte die Fundamentalform der Kongruenz

genügen, welche von niederem als -tem Grade ist. Da dies nach Satz 34 nicht statthaben kann, so folgt, daß die Determinante eine rationale Einheitsform ist.

Die Gleichungen (2) ergeben mit Hilfe des Multiplikationssatzes der Determinanten:

Durch Quadrieren dieser Beziehung folgt oder , wo