müssen. Wir denken uns nun sowohl
als
nach fallenden Potenzen der Variabeln
und die Koeffizienten der Potenzen
von
wiederum nach fallenden Potenzen von
geordnet usf. Ist dann
der erste Koeffizient in
, welcher nicht durch
teilbar ist, und zutreffendenfalls
der erste Koeffizient in
, welcher nicht durch
teilbar ist, so
würde
nach
folgen, was nicht möglich ist; d. h. sämtliche Koeffizienten von
sind durch
teilbar, und hieraus folgt nach dem Hilfssatz 4,
daß
durch
nach
teilbar ist. Diese Folgerung widerspricht unserer Annahme.
§ 11. Die Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung.
Die Diskriminante der Fundamentalgleichung.
Aus den Hilfssätzen 3, 4 und 5 folgen die nachstehenden wichtigen Tatsachen, welche die Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung betreffen:
Satz 33. Ist die Zerlegung der rationalen Primzahl
in Primideale durch
die Formel
… gegeben, so gestattet die linke Seite
der Fundamentalgleichung im Sinn der Kongruenz nach
die Darstellung
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, ,
|
wo
,
, … gewisse verschiedene Primfunktionen von
,
, …,
nach
bedeuten; überdies ist, wenn
|
|
gesetzt wird,
eine ganzzahlige Funktion der Veränderlichen
,
, …‚
,
welche nach
durch keine der Primfunktionen
,
, … teilbar ist.
Satz 34. Die aus der Fundamentalgleichung sich ergebende Kongruenz
-ten Grades
|
,
|
ist zugleich die Kongruenz niedrigsten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten, welcher die Fundamentalform
, für
eingesetzt, nach
genügt.
Beweis: Es sei
eine ganzzahlige Funktion von
,
, …‚
solcher
Art, daß die Kongruenz
nach
von der Fundamentalform
befriedigt wird. Ferner seien die voneinander verschiedenen, in
aufgehenden
Primideale
,
, … bezüglich von den Graden
,
, …; durch Bildung der
Norm folgt
, d. h.
. Ferner mögen
,
, … bez. die zu den Primidealen
,
, … gehörigen Primfunktionen von
,
, …,
bedeuten, wie sie in den vorigen Hilfssätzen gebraucht worden
sind. Aus dem Hilfssatz 5 folgt dann
|
, ,
|