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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.4

Da jede ganze Zahl des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {p}}$ einer ganzzahligen Funktion von $\varrho$ kongruent ist, so können wir die Fundamentalform

$\xi \equiv L(\varrho ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$

nach ${\mathfrak {p}}$ setzen, wo $L$ eine ganzzahlige Funktion von $\varrho$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ bedeutet. Nach dem eben Bewiesenen ist der Ausdruck

$(x-L(\varrho ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}))(x-L(\varrho ^{p};\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}))\ldots (x-L(\varrho ^{p^{f-1}};\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}))$

nach ${\mathfrak {p}}$ einer ganzzahligen Funktion von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ kongruent; wir setzen ihn in die Gestalt

$\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})=x^{f}+V_{1}x^{f-1}+\cdots +V_{f}$,

wo $V_{1}$, …, $V_{f}$, ganzzahlige Funktionen von $u_{1}$, …, $u_{m}$ bedeuten. Offenbar genügt die Fundamentalform $\xi$, für $x$ gesetzt, der Kongruenz

$\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})\equiv 0$,     $({\mathfrak {p}})$.

Da die Funktion $\Pi (x;\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{m})\equiv P(x)$ nach $p$ ist, so folgt, daß auch ${\mathfrak {p}}=(p,\,\Pi (\varrho ;\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}))$ ist, und mithin sind die Koeffizienten der Potenzen und Produkte von $u_{1}$, …, $u_{m}$ in $\Pi (\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ nicht sämtlich durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ und auch nicht sämtlich durch ein von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes, in ${\mathfrak {a}}$ aufgehendes Primideal teilbar. Da $P(x)$ Primfunktion ist, so gilt das gleiche um so mehr von der Funktion $\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$.

Hilfssatz 4. Jede ganzzahlige Funktion $\Phi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$, welche identisch in $u_{1}$, …, $u_{m}$ nach ${\mathfrak {p}}$ dem Wert $0$ kongruent wird, sobald man für $x$ die Fundamentalform $\xi$ einsetzt, ist nach $p$ durch $\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ teilbar.

Beweis: Im gegenteiligen Falle hätten $\Phi$ und $\Pi$ nach $p$ keinen Teiler gemein, und es müßte folglich nach Satz 32 eine nach $p$ dem Wert $0$ nicht kongruente ganzzahlige Funktion $U$ von $u_{1}$, …, $u_{m}$ allein existieren, so daß $U\equiv A\Phi +B\Pi$ nach $p$ wird, wo $A$, $B$ ganzzahlige Funktionen von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ sind. Hieraus würde, wenn man für $x$ die Fundamentalform $\xi$ einsetzt, $U\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ und folglich auch nach $p$ sich ergeben, was nicht der Fall ist.

Hilfssatz 5. Ist $\Phi$ eine ganzzahlige Funktion von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$, welche identisch in $u_{1}$, …, $u_{m}$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ dem Wert $0$ kongruent wird, wenn man für $x$ die Fundamentalform $\xi$ einsetzt, so muß notwendig $\Phi$ nach $p$ durch $\Pi ^{e}$ teilbar sein.

Beweis: Setzen wir $\Phi \equiv \Pi ^{e'}F$ nach $p$, wo $e'<e$ ist und $F$ eine ganzzahlige Funktion von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ bedeutet, die nach $p$ nicht mehr durch $\Pi$ teilbar ist, so folgt, daß sämtliche Koeffizienten der Potenzen und Produkte von $u_{1}$, …, $u_{m}$ in $\{\Pi (\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})\}^{e'}F(\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ durch ${\mathfrak {p}}^{e}$ teilbar sein

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 87. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/104&oldid=- (Version vom 31.7.2018)