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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/104

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Da jede ganze Zahl des Körpers nach einer ganzzahligen Funktion von kongruent ist, so können wir die Fundamentalform

nach setzen, wo eine ganzzahlige Funktion von , , …, bedeutet. Nach dem eben Bewiesenen ist der Ausdruck

nach einer ganzzahligen Funktion von , , …, kongruent; wir setzen ihn in die Gestalt

,

wo , …, , ganzzahlige Funktionen von , …, bedeuten. Offenbar genügt die Fundamentalform , für gesetzt, der Kongruenz

,     .

Da die Funktion nach ist, so folgt, daß auch ist, und mithin sind die Koeffizienten der Potenzen und Produkte von , …, in nicht sämtlich durch und auch nicht sämtlich durch ein von verschiedenes, in aufgehendes Primideal teilbar. Da Primfunktion ist, so gilt das gleiche um so mehr von der Funktion .

Hilfssatz 4. Jede ganzzahlige Funktion , welche identisch in , …, nach dem Wert kongruent wird, sobald man für die Fundamentalform einsetzt, ist nach durch teilbar.

Beweis: Im gegenteiligen Falle hätten und nach keinen Teiler gemein, und es müßte folglich nach Satz 32 eine nach dem Wert nicht kongruente ganzzahlige Funktion von , …, allein existieren, so daß nach wird, wo , ganzzahlige Funktionen von , , …, sind. Hieraus würde, wenn man für die Fundamentalform einsetzt, nach und folglich auch nach sich ergeben, was nicht der Fall ist.

Hilfssatz 5. Ist eine ganzzahlige Funktion von , , …, , welche identisch in , …, nach dem Wert kongruent wird, wenn man für die Fundamentalform einsetzt, so muß notwendig nach durch teilbar sein.

Beweis: Setzen wir nach , wo ist und eine ganzzahlige Funktion von , , …, bedeutet, die nach nicht mehr durch teilbar ist, so folgt, daß sämtliche Koeffizienten der Potenzen und Produkte von , …, in durch teilbar sein