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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/103

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der Funktion selbst oder dem Produkte aus in eine ganze rationale Zahl nach kongruent sind, so heißt die Funktion eine Primfunktion nach . Wie in der Theorie der Funktionen einer Veränderlichen gelten auch hier die gewöhnlichen Gesetze der Teilbarkeit; insbesondere heben wir den durch das bekannte Euklidische Rekursionsverfahren leicht zu beweisenden Satz hervor:

Satz 32. Wenn zwei ganzzahlige Funktionen und von , , …, nach der rationalen Primzahl keinen gemeinsamen Teiler haben, so gibt es eine ganzzahlige, nach nicht der kongruente Funktion von , …, allein, so daß man

,     

hat, wo und geeignete ganzzahlige Funktionen von , , …, sind.

Unser nächstes Ziel ist die Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung in Primfunktionen nach der rationalen Primzahl . Wir beweisen zunächst folgende Hilfssätze:

Hilfssatz 3. Wenn ein in aufgehendes Primideal -ten Grades bezeichnet, so gibt es stets nach eine Primfunktion vom -ten Grade in , welche, wenn man an Stelle von die Fundamentalform setzt, folgende Eigenschaften besitzt: die Koeffizienten der Potenzen und Produkte von , …, in der Funktion sind durch , aber nicht sämtlich durch und auch nicht sämtlich durch ein von verschiedenes, in aufgehendes Primideal teilbar.

Beweis: Es sei , wo das Ideal nicht mehr durch teilbar ist. Ferner sei eine solche Primitivzahl nach , welche die in den Sätzen 29 und 30 angegebenen Eigenschaften besitzt. sei eine wie dort bestimmte, zu gehörige ganzzahlige Funktion -ten Grades von der Art, daß ist. ist Primfunktion nach , weil sonst einer Kongruenz niederen als -ten Grades nach genügen würde. Wir setzen

,

wo , …, ganz rationale Zahlen sind, und nehmen den Koeffizienten von in gleich an. Da nach ist, so folgt nach Satz 27, daß auch , , …, nach ist, d. h. die Kongruenz nach besitzt die einander inkongruenten Wurzeln , , …, , und es ist mithin identisch in

,     

d. h. die elementarsymmetrischen Funktionen von , , …, sind sämtlich nach gewissen ganzen rationalen Zahlen kongruent.