der Funktion
selbst oder dem Produkte aus
in eine ganze rationale Zahl
nach
kongruent sind, so heißt die Funktion
eine Primfunktion nach
.
Wie in der Theorie der Funktionen einer Veränderlichen gelten auch hier die
gewöhnlichen Gesetze der Teilbarkeit; insbesondere heben wir den durch
das bekannte Euklidische Rekursionsverfahren leicht zu beweisenden Satz
hervor:
Satz 32. Wenn zwei ganzzahlige Funktionen
und
von
,
, …,
nach der rationalen Primzahl
keinen gemeinsamen Teiler haben, so
gibt es eine ganzzahlige, nach
nicht der
kongruente Funktion
von
, …,
allein, so daß man
|
,
|
hat, wo
und
geeignete ganzzahlige Funktionen von
,
, …,
sind.
Unser nächstes Ziel ist die Zerlegung der linken Seite
der Fundamentalgleichung in Primfunktionen nach der rationalen Primzahl
. Wir beweisen
zunächst folgende Hilfssätze:
Hilfssatz 3. Wenn
ein in
aufgehendes Primideal
-ten Grades bezeichnet, so gibt es stets nach
eine Primfunktion
vom
-ten
Grade in
, welche, wenn man an Stelle von
die Fundamentalform
setzt,
folgende Eigenschaften besitzt: die Koeffizienten der Potenzen und Produkte
von
, …,
in der Funktion
sind durch
, aber nicht
sämtlich durch
und auch nicht sämtlich durch ein von
verschiedenes, in
aufgehendes Primideal teilbar.
Beweis: Es sei
, wo das Ideal
nicht mehr durch
teilbar ist.
Ferner sei
eine solche Primitivzahl nach
, welche die in den Sätzen 29 und 30
angegebenen Eigenschaften besitzt.
sei eine wie dort bestimmte, zu
gehörige ganzzahlige Funktion
-ten Grades von der Art, daß
ist.
ist Primfunktion nach
, weil sonst
einer Kongruenz niederen
als
-ten Grades nach
genügen würde. Wir setzen
|
,
|
wo
, …,
ganz rationale Zahlen sind, und nehmen den Koeffizienten
von
in
gleich
an. Da
nach
ist, so folgt nach Satz 27, daß
auch
,
, …,
nach
ist, d. h. die Kongruenz
nach
besitzt die
einander inkongruenten Wurzeln
,
, …,
, und es ist mithin identisch in
|
,
|
d. h. die elementarsymmetrischen Funktionen von
,
, …,
sind sämtlich nach
gewissen ganzen rationalen Zahlen kongruent.