Schwere, Elektricität und Magnetismus:335

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 321
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Das Potential zwei elektrischer Theilchen. Weber’s Form.

Componenten der Geschwindigkeit des einzelnen elektrischen Theilchens in Betracht zu ziehen. Nach §. 54, (5) ist nemlich bei der hier gebrauchten Bezeichnung

$i_{1}dS=\sum \varepsilon w_{1}=\sum \varepsilon {\frac {dx}{dt}}-\sum \varepsilon v_{1},$ $i_{2}dS=\sum \varepsilon w_{2}=\sum \varepsilon {\frac {dy}{dt}}-\sum \varepsilon v_{2},$ $i_{3}dS=\sum \varepsilon w_{3}=\sum \varepsilon {\frac {dz}{dt}}-\sum \varepsilon v_{3}.$

Die Summirung erstreckt sich über alle im Raumelemente $dS\,$ enthaltenen elektrischen Theilchen. Nun können aber für ein und dasselbe Leiterelement die Geschwindigkeits-Compononten $v_{1},v_{2},v_{3}\,$ vor das Summenzeichen genommen werden. Und da im Innern des Leiters an keiner Stelle freie Elektricität vorhanden ist, so haben wir

(7)	$\sum \varepsilon =0.$

Folglich vereinfachen sich die letzten Gleichungen und wir erhalten

(8)	$i_{1}dS=\sum \varepsilon {\frac {dx}{dt}},$ $i_{2}dS=\sum \varepsilon {\frac {dy}{dt}},$ $i_{3}dS=\sum \varepsilon {\frac {dz}{dt}}.$

Drei entsprechende Gleichungen ergeben sich für das Raumelement $dS'\,$ des zweiten Leiters. Mit Hülfe dieser Gleichungen geht der Ausdruck (6) über in:

(9)

$D_{1}=\sum \sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {\partial r}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right)\left({\frac {\partial r}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {\partial r}{\partial y_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dt}}+{\frac {\partial r}{\partial z_{1}}}{\frac {dz_{1}}{dt}}\right).$

Die eine Summirung ist über alle elektrischen Theilchen des ersten, die andere über alle Theilchen des zweiten Stromes zu erstrecken.

 Die Gleichung (9) lässt sich noch einfacher schreiben. Bezeichnet man nemlich die in der Zeit $dt\,$ eintretende Aenderung von $r\,$, die von der Bewegung des Theilchens $\varepsilon \,$ herrührt, mit $\delta r\,$, die entsprechende Aenderung von $r\,$, die von der Bewegung des Theilchens $\varepsilon '\,$ herrührt, mit $\delta 'r\,$, so findet sich schliesslich:

(10)	$D_{1}=\sum \sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\cdot {\frac {\delta r}{dt}}\cdot {\frac {\delta 'r}{dt}}.$