Schwere, Elektricität und Magnetismus:334

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 320
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Achter Abschnitt. §. 96.

(3)	$D_{1}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {dS\,dS'}{r}}\left(i_{1}{\frac {\partial F}{\partial x}}+i_{2}{\frac {\partial F}{\partial y}}+i_{3}{\frac {\partial F}{\partial z}}\right).$

 Wir beginnen mit der Integration über den ersten Leiter, also mit dem Integral

$\int {\frac {dS}{r}}\left(i_{1}{\frac {\partial F}{\partial x}}+i_{2}{\frac {\partial F}{\partial y}}+i_{3}{\frac {\partial F}{\partial z}}\right).$

Durch Integration nach Theilen [§. 20, Gleichungen (1) und (2)] erhält man dafür

(4)	$-\int dS\cdot F\cdot \left\lbrace {\frac {\partial \left({\frac {i_{1}}{r}}\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left({\frac {i_{2}}{r}}\right)}{\partial y}}+{\frac {\partial \left({\frac {i_{3}}{r}}\right)}{\partial z}}\right\rbrace$

$-\int d\sigma \cdot {\frac {F}{r}}\cdot \left\lbrace i_{1}{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}{\frac {\partial z}{\partial n}}\right\rbrace ,$

und es ist das erste dieser beiden Integrale über den Raum des ersten Leiters, das zweite über seine Oberfläche zu erstrecken. Wir setzen aber Ströme voraus, bei denen an keiner Stelle die Dichtigkeit der freien Elektricität sich ändert [§. 57, Gleichung (1)] und bei denen die Oberfläche des Leiters isolirt ist [§. 57, Gleichung (2)]. Wir haben also

${\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0,$ $i_{1}{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}{\frac {\partial z}{\partial n}}=0.$

Hiernach vereinfacht sich das Raum-Integral in (4), und das Oberflächen-Integral fällt ganz weg. Der Ausdruck (3) geht in Folge dessen über in:

(5)	$D_{1}=-{\frac {1}{2}}\iint dS\,dS'\cdot F\cdot \left\lbrace i_{1}{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}+i_{2}{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}+i_{3}{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}\right\rbrace .$

In dieser Formel braucht man nur die Differentiation von ${\frac {1}{r}}$ wirklich auszuführen und die Function $F\!$ aus Gleichung (2) wieder einzusetzen, um den neuen Ausdruck zu erlangen:

(6)

$D_{1}=\iint {\frac {dS\,dS'}{r}}\left(i_{1}{\frac {\partial r}{\partial x}}+i_{2}{\frac {\partial r}{\partial y}}+i_{3}{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)\left(i_{1}'{\frac {\partial r}{\partial x_{1}}}+i_{2}'{\frac {\partial r}{\partial y_{1}}}+i_{3}'{\frac {\partial r}{\partial z_{1}}}\right).$

Für die weitere Transformation ist es von Nutzen, den Zusammenhang zwischen den specifischen Stromintensitäten und den