Schwere, Elektricität und Magnetismus:336

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 322
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Achter Abschnitt. §. 96.

 Dieser Ausdruck gibt das Potential $D_{1}\,$ abhängig von der absoluten Bewegung der elektrischen Theilchen. Nun dürfen in (10) noch solche Glieder hinzugefügt werden, die bei der Summation sich aufheben, und durch deren Einführung bewirkt wird, dass nur noch die relative Geschwindigkeit vorkömmt.

 Der Inbegriff dieser Glieder ist

(11)	${\frac {1}{2}}\sum \sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {\delta r}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {\delta 'r}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.$

Es ist leicht einzusehen, dass diese Doppelsummne den Werth Null hat. Beginnen wir nemlich in

$\sum \sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {\delta r}{dt}}\right)^{2}$

mit der Summirung über den zweiten Leiter, so kann der Factor $\varepsilon \,$ aus dem inneren Summenzeichen herausgenommen werden. Für irgend ein einzelnes Element des zweiten Leiters ist ${\frac {1}{r}}\left({\frac {\delta r}{dt}}\right)^{2}\,$ constant und $\sum \varepsilon '=0\,$. Folglich liefert jedes Element des zweiten Leiters zu der Summe den Beitrag Null, und deshalb ist die ganze Summe gleich Null. In entsprechender Weise zeigen wir, dass auch der zweite Bestandtheil von (11) den Werth Null hat.

 Fügen wir nun den Beitrag (11) auf der rechten Seite von (10) hinzu und schreiben

${\frac {\delta r}{dt}}+{\frac {\delta 'r}{dt}}={\frac {dr}{dt}},\,$

so ergibt sich

(12)	$D_{1}={\frac {1}{2}}\sum \sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}.$

 Dieser Ausdruck kömmt zu Stande, wenn man für die Wechselwirkung der beiden einzelnen bewegten Theilchen $\varepsilon \,$ und $\varepsilon '\,$ setzt:

(13)	$D={\frac {1}{2}}{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}.$

 Das elektrostatische Potential der beiden Theilchen ist

(14)	$S=-{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}.\,$

Hier muss aber beachtet werden, dass in (13) und (14) die Elektricitätsmengen nach verschiedenen Maasse gemessen sind, nemlich in D nach magnetischem, in S nach elektrostatischem Maass. Sollen beide Ausdrücke zusammengefasst werden, so müssen sie