Schwere, Elektricität und Magnetismus:312

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 298
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Sechster Abschnitt. §. 89.

 Wir können nun auf die Gleichungen (1) des §. 78 zurückgehen. Durch sie lässt sich der Ausdruck (5) des vorigen Paragraphen so transformiren:

(1)

$P={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }dxdydz{\begin{Bmatrix}\quad {\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'-{\frac {\partial u_{3}}{\partial y}}X'\\+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x}}Y'-{\frac {\partial u_{1}}{\partial z}}Y'\\+{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}Z'-{\frac {\partial u_{2}}{\partial x}}Z'\end{Bmatrix}}.$

Hier erscheint es zweckmässig, die Integration nach Theilen anzuwenden. Wir erhalten

$\int {\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'dz=u_{2}X'-\int u_{2}{\frac {\partial X'}{\partial z}}\,dz$

Um das bestimmte Integral zu ermitteln, hat man auf beiden Seiten die Grenzen einzusetzen. Dabei verschwindet rechts der vom Integralzeichen freie Bestandtheil. Denn es ist für $z=\pm \infty \,$ sowohl $u_{2}\,$ als $X'\,$ gleich Null. Man erhält also

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'dxdydz=-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u_{2}{\frac {\partial X'}{\partial z}}\,dxdydz.$

In derselben Weise lassen sich die übrigen Bestandtheile auf der rechten Seite von (1) umformen. Es ergibt sich danach

$P={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }dxdydz{\begin{Bmatrix}\quad u_{1}\left({\frac {\partial Y'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial y}}\right)\\+u_{2}\left({\frac {\partial Z'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial z}}\right)\\+u_{3}\left({\frac {\partial X'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial x}}\right)\end{Bmatrix}}.$

Die Integration ist noch zu vereinfachen. Es sind nemlich die Differenzen

${\frac {\partial Y'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial y}},\,$ ${\frac {\partial Z'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial z}},\,$ ${\frac {\partial X'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial x}}\,$