Schwere, Elektricität und Magnetismus:311

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 297
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Zwei beliebige constante Ströme.

${\frac {\partial (VX')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VY')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VZ')}{\partial z}}$ $=X'{\frac {\partial V}{\partial x}}+Y'{\frac {\partial V}{\partial y}}+Z'{\frac {\partial V}{\partial z}}\,$ $+V\left({\frac {\partial X'}{\partial x}}+{\frac {\partial Y'}{\partial x}}+{\frac {\partial Z'}{\partial z}}\right).\,$

Da aber $X',\ Y',\ Z'\,$ von einem lineären galvanischen Strome herrühren, so ist in dem ganzen unendlichen Raume ausserhalb des Stromleiters

${\frac {\partial X'}{\partial x}}+{\frac {\partial Y'}{\partial y}}+{\frac {\partial Z'}{\partial z}}=0.$

Es ist ferner $V\,$ die Potentialfunction der magnetischen Kraft, welche der erste lineäre galvanische Strom ausübt, folglich

${\frac {\partial V}{\partial x}}=X,\ {\frac {\partial V}{\partial x}}=Y,\ {\frac {\partial V}{\partial z}}=Z.\,$

Danach kann man statt der Gleichung (4) auch

(5)	$P={\frac {1}{4\pi }}\int dT(XX'+YY'+ZZ')$

setzen, und das Integral erstreckt sich über den ganzen unendlichen Raum.

§. 89. Fortsetzung: Zwei beliebige constante Ströme.

 Die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen bleibt auch dann gültig, wenn der erste Leiter nicht lineär ist. Denn wir können jeden geschlossenen nichtlineären Strom als ein System von lineären Strömen auffassen. Dabei würde resp. $\sum X,\ \sum Y,\ \sum Z\,$ an die Stelle treten für $X,\ Y,\ Z,\,$ und $\sum P\,$ an die Stelle für $P\,$. Nachher kann man dann wieder die Summen mit einfachen Buchstaben bezeichnen, so dass die Formel (5) wieder zu Stande kömmt.

 Ebenso kann man auch den zweiten Strom nichtlineär nehmen. Die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen bleibt dabei in unveränderter Form gültig. Nur hat man jetzt unter $X,\ Y,\ Z\,$ die Componenten der gesammten magnetischen Kraft zu verstehen, welche der nichtlineäre erste Strom ausübt, und unter $X',\ Y',\ Z'\,$ die Componenten der gesammten magnetischen Kraft, die der nichtlineäre zweite Strom ausübt.