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Schwere, Elektricität und Magnetismus:310

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 296
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Sechster Abschnitt. §. 88.


(2)


Betrachtet man aber die beiden Seiten der Fläche als einen Theil der Begrenzung des unendlichen Raumes (die übrige Begrenzung ist eine unendlich entfernte Kugelfläche), so kann man auf der positiven, wie auf der negativen Seite von die Normale nach dem Innern dieses Raumes hin ziehen. Auf der Seite der positiven hat man , auf der Seite der negativen dagegen . Die Gleichung (4) gibt demnach jetzt:


(3)


wenn die Integration über beide Seiten der Fläche ausgedehnt wird.

 Dieses Integral lässt sich durch ein Raum-Integral, ersetzen. Bezeichnen wir nemlich mit den unendlichen Raum, welcher eine unendlich entfernte Kugelfläche und die beiden Seiten der Fläche zur Begrenzung hat, so findet sich nach §. 19 (4), dass das über den unendlichen Raum ausgedehnte Integral



gleich ist dem Oberflächen-Integral



wenn dieses über die beiden Seiten der Fläche und über die unendlich ferne Kugelfläche erstreckt wird. Nun sind aber in unendlicher Entfernung sowohl als gleich Null. Das Integral über die Kugelfläche fällt also weg, und wir erhalten


(4)


 Die Integration in (4) ist über den ganzen unendlichen Raum auszudehnen.

 Wir können noch weiter transformiren. Durch Ausführung der Differentiation ergibt sich nemlich