Schwere, Elektricität und Magnetismus:212

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 198
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Vierter Abschnitt. §. 49.

${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g,$

d.h. $p_{0}={\frac {1}{g}},\,\,q_{0}=0.$

Aus (19) haben wir aber

${\begin{aligned}&q_{0}={\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2},\\\,\\&p_{0}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}).\\\end{aligned}}$

Folglich müssen wir hier setzen:

${\mathfrak {Q}}_{2}=-{\mathfrak {Q}}_{1},\quad {\mathfrak {Q}}_{1}=-{\frac {c}{-b\,g(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}.$

Wird dies in die Gleichungen (19) und von da in (13) eingeführt, so erhält man speciell für $\varphi _{11}(\eta )\!$ die Entwicklung

(23)	$\varphi _{11}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)-(\alpha _{1}^{k+1}+\,\alpha _{2}^{k+1})\,{\frac {b}{c}}\eta }}.$

 In entsprechender Weise findet man aus (15) und (22) die Bedingung

${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}={\frac {g}{\eta }},\,$

also muss jetzt für die Entwicklung von $\varphi _{12}(\eta )\!$ gesetzt werden

${\begin{aligned}&p_{0}=0=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}),\\\,\\&q_{0}={\frac {1}{g}}={\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}.\\\end{aligned}}$

Daraus lassen sich ${\mathfrak {Q}}_{1}\!$ und ${\mathfrak {Q}}_{2}\!$ bestimmen, und wenn man ihre Werthe in (19) und von da in (13) einführt, so hat man speciell die Entwicklung von $\varphi _{12}(\eta )\!$.

 Man gelangt dazu einfacher auf dem folgenden Wege. Wir setzen

(24)	$\chi _{12}(\zeta )=-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right),$

folglich nach Gleichung (21)

(25)	$\varphi _{12}(\eta )=-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)+g,$

und wollen beweisen, dass hierdurch die Gleichung (22) befriedigt wird. Es ist nemlich